ハミルトニアンとは？一般化運動量とルジャンドル変換からハミルトニアンを導出する

これまでの記事で、位置 $q$ と速度 $\dot{q}$ を変数とするラグランジュ形式と、オイラー・ラグランジュ方程式について解説しました。

オイラー・ラグランジュ方程式は2階の微分方程式です。

$$\frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \right) – \frac{\partial L}{\partial q} = 0$$

前回の記事はこちらです↓↓↓

前回の記事では、解析力学の基礎となる最小作用の原理について解説しました。本記事では、その原理を数学的に記述する変分法という手法と、そこから導出されるオイラー・ラグランジュ方程式について解説します。前回の記事はこちらから見れます↓↓↓それでは…

本記事では、ルジャンドル変換を用いて新しい関数であるハミルトニアンを導入していきたいと思います。

それではやっていきましょう!(^^)!

一般化運動量の定義
力学系におけるルジャンドル変換
ハミルトニアンの定義
まとめ

一般化運動量の定義

ラグランジュ形式から新しい形式へ移行するため、速度 $\dot{q}$ に代わる新しい独立変数を設定します。

ラグランジアン $L(q, \dot{q}, t)$ を一般化速度 $\dot{q}$ で偏微分したものを、一般化運動量 $p$ と定義します。

$$p = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}$$

自由度が複数ある系においては、添字 $i$ を用いて $p_i = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}$ と表記します。

デカルト座標系における自由粒子の場合、この定義による $p$ はニュートン力学における通常の運動量 $mv$ と一致します。

力学系におけるルジャンドル変換

独立変数を $\dot{q}$ から $p$ へ変換する際、単なる代入を行うと関数が持つ力学的な情報が失われます。

情報を完全に保持したまま変数変換を行うため、ルジャンドル変換を適用します。

ルジャンドル変換について詳しく知りたい方はこちらの記事をご参照ください↓↓↓

ルジャンドル変換とは？幾何学的な意味と定義、具体的な計算手順を解説

関数 $f(x)$ を扱う際、変数 $x$ の代わりに曲線の傾き $p = f'(x)$ を新しい変数として使いたい場面があります。しかし、単に $x$ を $p$ に置き換えるだけでは問題が生じます。例えば、$f_1(x) = x^2$ …

数学的なルジャンドル変換の式 $g(p) = px – f(x)$ と、力学系の変数には以下の対応関係があります。

元の変数 $x$ $\rightarrow$ 速度 $\dot{q}$
元の関数 $f(x)$ $\rightarrow$ ラグランジアン $L$
新しい変数 $p$ $\rightarrow$ 運動量 $p$
新しい関数 $g(p)$ $\rightarrow$ ハミルトニアン $H$

ハミルトニアンの定義

上記の対応関係に従い、新しい関数であるハミルトニアン $H(q, p, t)$ を以下の式で定義します。

$$H(q, p, t) = \sum_{i} p_i \dot{q}_i – L(q, \dot{q}, t)$$

この式における $\sum_{i}$ は、系のすべての自由度に関する和を表します。

計算の際、右辺には速度 $\dot{q}_i$ が含まれています。

ハミルトニアン $H$ は位置 $q$ と運動量 $p$ の関数として表す必要があるため、一般化運動量の定義式 $p_i = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}$ を $\dot{q}_i$ について解き、右辺の $\dot{q}_i$ に代入して変数を消去する処理を行います。

多くの場合、この手順で定義されるハミルトニアン $H$ は、系の全エネルギー（運動エネルギーとポテンシャルエネルギーの和）に等しくなります。