力学系の運動を記述する際、ニュートン力学ではベクトル量である力を用いて運動方程式を立てます。
この手法だと、デカルト座標以外の座標系（極座標など）を用いる場合や、系に拘束条件が存在する場合、式の形が複雑になります。
一方、解析力学では運動エネルギーとポテンシャルエネルギーというスカラー量を基点として系を記述します。
スカラー量を用いることで座標系の取り方に依存しない普遍的な枠組みが構築され、複雑な力学系の計算が容易になります。
ということで、今回は解析力学１つめの記事となる「最小作用の原理」の概念を解説していきたいと思います(^^)/
ラグランジアンと作用積分の定義
解析力学による定式化において、中心的な役割を果たすのがラグランジアンと作用積分です。
系の運動エネルギーを $T$、ポテンシャルエネルギーを $V$ としたとき、ラグランジアン $L$ は両者の差として以下のように定義されます。
$$L = T – V$$
次に、ある時刻 $t_1$ から時刻 $t_2$ までの力学系の運動について考えます。
この時間区間における運動の軌跡に沿ってラグランジアンを時間積分したものを、作用（作用積分） $S$ と定義します。
$$S = \int_{t_1}^{t_2} L(q, \dot{q}, t) dt$$
ここで、$q$ は一般化座標、$\dot{q}$ は一般化速度、$t$ は時間を表します。
作用 $S$ は、始点と終点を結ぶ経路の関数（汎関数）として定まります。
最小作用の原理（ハミルトンの原理）
空間内のある始点から終点へ物体が移動する際、数学的に描くことができる経路は無数に存在します。
しかし、現実の物理現象として観測される経路は一つに定まります。
最小作用の原理（ハミルトンの原理）は、これら無数の経路の中から実際に力学系がたどる経路を決定する法則です。
この原理は、実際に実現される運動の経路は、作用積分 $S$ の値が最小になる経路であると定めています（厳密には、変分がゼロとなる極値をとる経路を指します）。
ニュートン力学では、その瞬間に物体に働く力をもとに、次の瞬間の運動を順番に計算していきます。
一方、解析力学では、出発点から到着点までの経路全体を考えます。
全体で計算される作用 $S$ が最小になる経路が実際の運動として選ばれる、という条件で物理現象を説明することが出来るのです。
まとめ
本記事では、エネルギーを基点とする解析力学の視点と、運動の経路を決定する最小作用の原理について解説しました。
力学系の振る舞いは、作用積分の変分がゼロになるという一つの法則によって支配されています。
次回の記事では、この最小作用の原理を出発点として、変分法という数学的手法を用いながらオイラー・ラグランジュ方程式を導出する過程を解説していきたいと思います!(^^)!
ではまた！
