前回の記事では、解析力学の基礎となる最小作用の原理について解説しました。
本記事では、その原理を数学的に記述する変分法という手法と、そこから導出されるオイラー・ラグランジュ方程式について解説します。
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それではやっていきましょう(^^)/
変分法の基礎
作用積分 $S$ は、時間の関数である経路 $q(t)$ を入力として実数を出力する汎関数です。
力学系が実際にたどる経路を $q(t)$ とし、そこから微小にずれた仮想の経路を $q(t) + \delta q(t)$ とします。
この微小なずれ $\delta q(t)$ を変分と呼びます。
経路の始点 $t_1$ と終点 $t_2$ における位置は固定されているものとして扱います。
したがって、両端における変分はゼロになります。これを境界条件として以下の式で表します。
$$\delta q(t_1) = \delta q(t_2) = 0$$
作用積分の変分計算
グランジアン $L(q, \dot{q}, t)$ を用いた作用積分 $S$ の定義式は以下の通りです。
$$S = \int_{t_1}^{t_2} L(q, \dot{q}, t) dt$$
最小作用の原理によれば、実現される運動の経路では作用積分 $S$ の変分 $\delta S$ がゼロになります。
$\delta S$ は以下のように計算されます。
$$\delta S = \int_{t_1}^{t_2} \left( \frac{\partial L}{\partial q} \delta q + \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \delta \dot{q} \right) dt = 0$$
ここで、$\delta \dot{q}$ は速度の変分であり、位置の変分の時間微分 $\frac{d}{dt}(\delta q)$ に等しいという性質を用います。
オイラー・ラグランジュ方程式の導出
上記の積分の第2項に対して部分積分を適用します。
$$\int_{t_1}^{t_2} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \frac{d}{dt}(\delta q) dt = \left[ \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \delta q \right]_{t_1}^{t_2} – \int_{t_1}^{t_2} \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \right) \delta q dt$$
右辺の第1項は、境界条件 $\delta q(t_1) = \delta q(t_2) = 0$ によりゼロになります。
残りの項を元の $\delta S$ の式に代入して整理します。
$$\delta S = \int_{t_1}^{t_2} \left\{ \frac{\partial L}{\partial q} – \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \right) \right\} \delta q dt = 0$$
この等式は、任意の微小な変分 $\delta q(t)$ に対して成り立たなければなりません。
そのためには、積分記号の中の括弧内の式が常にゼロである必要があります。これにより、以下のオイラー・ラグランジュ方程式が導出されます。
$$\frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \right) – \frac{\partial L}{\partial q} = 0$$
まとめ
最小作用の原理と変分法を用いることで、解析力学における基本的な運動方程式であるオイラー・ラグランジュ方程式を導出しました。
この方程式はニュートンの運動方程式と等価であり、一般化座標系においても式の形が変わらないという利点を持ちます。
今回はこれで以上となります!(^^)!
ではまた(^^)/~~~
