ハミルトンの正準方程式を導出する - かぷっと学べる物理の記録.com

こんにちは！

前回の記事ではハミルトニアン $H(q, p, t)$ の導出を行いました。

今回はそれを用いて、力学系の実際の運動を決定する方程式を導出していきたいと思います!(^^)!

それではやっていきましょう(^^)/

（前回の記事はこちらです↓↓↓）

これまでの記事で、位置 $q$ と速度 $\dot{q}$ を変数とするラグランジュ形式と、オイラー・ラグランジュ方程式について解説しました。オイラー・ラグランジュ方程式は2階の微分方程式です。$$\frac{d}{dt} \left( \…

全微分による正準方程式の導出
ハミルトニアンの物理的意味（エネルギー保存則）
まとめ

全微分による正準方程式の導出

系が $n$ 個の自由度を持つとし、一般化座標を $q_i$、一般化運動量を $p_i$ とします（$i = 1, 2, \dots, n$）。

ハミルトニアンの定義式は以下の通りです。

$$H = \sum_{i=1}^n p_i \dot{q}_i – L$$

この式の両辺の全微分 $dH$ を計算します。

$$dH = \sum_{i=1}^n (dp_i \dot{q}_i + p_i d\dot{q}_i) – dL$$

一方、ラグランジアン $L(q, \dot{q}, t)$ の全微分 $dL$ は次のように書けます。

$$dL = \sum_{i=1}^n \left( \frac{\partial L}{\partial q_i} dq_i + \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} d\dot{q}_i \right) + \frac{\partial L}{\partial t} dt$$

ここで、オイラー・ラグランジュ方程式 $\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}\right) – \frac{\partial L}{\partial q_i} = 0$ と一般化運動量の定義 $p_i = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}$ を用いると、$\frac{\partial L}{\partial q_i} = \dot{p}_i$ という関係が得られます。

これを $dL$ の式に代入します。

$$dL = \sum_{i=1}^n ( \dot{p}_i dq_i + p_i d\dot{q}_i ) + \frac{\partial L}{\partial t} dt$$

この $dL$ を $dH$ の式に代入して整理すると、$p_i d\dot{q}_i$ の項が相殺されます。

$$dH = \sum_{i=1}^n ( \dot{q}_i dp_i – \dot{p}_i dq_i ) – \frac{\partial L}{\partial t} dt$$

また、ハミルトニアン $H$ を独立変数 $(q, p, t)$ の関数として直接全微分すると以下のようになります。

$$dH = \sum_{i=1}^n \left( \frac{\partial H}{\partial q_i} dq_i + \frac{\partial H}{\partial p_i} dp_i \right) + \frac{\partial H}{\partial t} dt$$

2つの $dH$ の式における $dq_i$ と $dp_i$ の係数を比較することで、以下のハミルトンの正準方程式が導出されます。

$$\dot{q}_i = \frac{\partial H}{\partial p_i}, \quad \dot{p}_i = -\frac{\partial H}{\partial q_i}$$

また、時間微分の項の比較から $\frac{\partial H}{\partial t} = -\frac{\partial L}{\partial t}$ が得られます。

ハミルトニアンの物理的意味（エネルギー保存則）

ハミルトニアン $H$ の全時間微分 $\frac{dH}{dt}$ を計算します。

$$\frac{dH}{dt} = \sum_{i=1}^n \left( \frac{\partial H}{\partial q_i} \dot{q}_i + \frac{\partial H}{\partial p_i} \dot{p}_i \right) + \frac{\partial H}{\partial t}$$

ここに正準方程式を代入すると、括弧内の項が相殺されます。

$$\frac{dH}{dt} = \sum_{i=1}^n \left( \frac{\partial H}{\partial q_i} \frac{\partial H}{\partial p_i} – \frac{\partial H}{\partial p_i} \frac{\partial H}{\partial q_i} \right) + \frac{\partial H}{\partial t} = \frac{\partial H}{\partial t}$$

ラグランジアンが陽に時間を含まない場合、$\frac{\partial L}{\partial t} = 0$ であり、したがって $\frac{\partial H}{\partial t} = 0$ となります。

このとき $\frac{dH}{dt} = 0$ となり、ハミルトニアン $H$ の値は時間的に変化しません。

多くの場合、ハミルトニアンは系の全エネルギーを表すため、これはエネルギー保存則に対応します。