こんにちは!(^^)!
マクスウェル方程式は、電磁場の振る舞いを記述します。
本記事では、この方程式から電磁場のエネルギー保存則（ポインティングの定理）を導出していきたいと思います(^^)/
電磁場のエネルギー密度とジュールの法則
まず、導出に必要な物理量を定義します。
電磁場のエネルギー密度 $u$
空間の任意の点における電場の強さ $\mathbf{E}$ と磁束密度 $\mathbf{B}$ によって、その場所に蓄えられるエネルギー密度 $u$（単位体積あたりのエネルギー）は、以下のように定義されます。
$$u = \frac{1}{2}\varepsilon_0 \vert{}\mathbf{E}\vert{}^2 + \frac{1}{2\mu_0} \vert{}\mathbf{B}\vert{}^2$$
ここで、$\varepsilon_0$ は真空の誘電率、$\mu_0$ は真空の透磁率です。
電磁場のエネルギー密度導出の記事はこちらで読めます↓↓↓
電磁場が電荷にする仕事 $\mathbf{j} \cdot \mathbf{E}$
電磁場 $\mathbf{E}, \mathbf{B}$ の中に、電流密度 $\mathbf{j}$ を持つ物質（電荷分布）があるとします。
電磁場がこの物質に対して単位体積あたり、単位時間あたりに行う仕事は、ローレンツ力から導かれ、以下のように表されます。
$$\mathbf{j} \cdot \mathbf{E}$$
これが電磁場から物質へ受け渡されたエネルギー（仕事）であり、物質内ではジュール熱として消費されます。
具体的な導出はこちらです↓↓↓
マクスウェル方程式からの導出
さて、マクスウェル方程式を用いて、エネルギー密度 $u$ の時間変化率 $\frac{\partial u}{\partial t}$ を計算してみましょう。
出発点は、回転（rot）を含む以下の2つのマクスウェル方程式です。
- ファラデーの電磁誘導の法則:$$\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}$$
- アンペール＝マクスウェルの法則:$$\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{j} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}$$
エネルギー密度 $u$ の時間変化率は、
$$\frac{\partial u}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial t} \left( \frac{1}{2}\varepsilon_0 \mathbf{E} \cdot \mathbf{E} + \frac{1}{2\mu_0} \mathbf{B} \cdot \mathbf{B} \right) = \varepsilon_0 \mathbf{E} \cdot \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} + \frac{1}{\mu_0} \mathbf{B} \cdot \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}$$
この式の中にある $\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}$ と $\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}$ を、マクスウェル方程式から代入します。
$$\varepsilon_0 \mathbf{E} \cdot \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} = \mathbf{E} \cdot (\varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}) = \mathbf{E} \cdot \left( \frac{1}{\mu_0} \nabla \times \mathbf{B} – \mathbf{j} \right) = \frac{1}{\mu_0} \mathbf{E} \cdot (\nabla \times \mathbf{B}) – \mathbf{j} \cdot \mathbf{E}$$
$$\frac{1}{\mu_0} \mathbf{B} \cdot \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} = \frac{1}{\mu_0} \mathbf{B} \cdot (-\nabla \times \mathbf{E}) = -\frac{1}{\mu_0} \mathbf{B} \cdot (\nabla \times \mathbf{E})$$
これらを足し合わせると、以下の式が得られます。
$$\frac{\partial u}{\partial t} + \mathbf{j} \cdot \mathbf{E} = \frac{1}{\mu_0} \{ \mathbf{E} \cdot (\nabla \times \mathbf{B}) – \mathbf{B} \cdot (\nabla \times \mathbf{E}) \}$$
ここで、ベクトル解析の公式 $\nabla \cdot (\mathbf{A} \times \mathbf{B}) = \mathbf{B} \cdot (\nabla \times \mathbf{A}) – \mathbf{A} \cdot (\nabla \times \mathbf{B})$を使用すると、右辺の括弧内は以下のように変形できます。
$$\mathbf{E} \cdot (\nabla \times \mathbf{B}) – \mathbf{B} \cdot (\nabla \times \mathbf{E}) = -\nabla \cdot (\mathbf{E} \times \mathbf{B})$$
したがって、式は以下のようになります。
$$\frac{\partial u}{\partial t} + \mathbf{j} \cdot \mathbf{E} = -\frac{1}{\mu_0} \nabla \cdot (\mathbf{E} \times \mathbf{B}) = -\nabla \cdot \left( \frac{1}{\mu_0} \mathbf{E} \times \mathbf{B} \right)$$
ポインティング・ベクトルの定義と意味
導出された式 $-\nabla \cdot \left( \frac{1}{\mu_0} \mathbf{E} \times \mathbf{B} \right)$ の括弧内の項を、ポインティング・ベクトル $\mathbf{S}$（Poynting vector）と定義します。
定義
$$\mathbf{S} = \frac{1}{\mu_0} \mathbf{E} \times \mathbf{B} = \mathbf{E} \times \mathbf{H}$$
（ここで、$\mathbf{H} = \frac{\mathbf{B}}{\mu_0}$ は磁場の強さです）。
物理的意味
ポインティング・ベクトル $\mathbf{S}$ は、「単位時間あたり、単位面積を通り抜ける電磁場のエネルギー」を表します。
単位は $\mathrm{W/m^2}$です。
ベクトルの向きは、$\mathbf{E} \times \mathbf{B}$ なので、電場 $\mathbf{E}$ と磁場 $\mathbf{B}$ の両方に垂直な方向、すなわち電磁波の進行方向を指します。
ポインティングの定理
ポインティング・ベクトル $\mathbf{S}$ を用いて、導出された式を整理すると、以下のようになります。
$$-\nabla \cdot \mathbf{S} = \frac{\partial u}{\partial t} + \mathbf{j} \cdot \mathbf{E}$$
これが、電磁場のエネルギーに関する保存則であるポインティングの定理（Poynting’s theorem）です。
各項の物理的解釈（エネルギーの出入り）
この方程式の各項の物理的意味を、ある閉じた体積 $V$、その閉曲面 $S$ について積分形を用いて解釈します。
ガウスの発散定理を用いて左辺を面積分に直すと、以下のようになります。
$$-\oint_S \mathbf{S} \cdot \mathbf{n} dA = \frac{d}{dt} \int_V u dV + \int_V \mathbf{j} \cdot \mathbf{E} dV$$
（$\mathbf{n}$ は閉曲面 $S$ の外向き法線ベクトル）。
- 左辺 $-\oint_S \mathbf{S} \cdot \mathbf{n} dA$:
閉曲面 $S$ から外側へ向かうエネルギー流束（$\mathbf{S} \cdot \mathbf{n}$）に負符号がついているので、「閉体積 $V$ の外側から内側へ流れ込んできたエネルギー（単位時間あたり）」を表します。 - 右辺第1項 $\frac{d}{dt} \int_V u dV$:
閉体積 $V$ 内にある電磁場の総エネルギーの時間変化率。すなわち、「閉体積 $V$ 内で蓄積された電磁場のエネルギーの増加（単位時間あたり）」を表します。 - 右辺第2項 $\int_V \mathbf{j} \cdot \mathbf{E} dV$:
閉体積 $V$ 内で電磁場が電荷（物質）に対して行った総仕事率。すなわち、「閉体積 $V$ 内で物質によって消費されたエネルギー（ジュール熱、単位時間あたり）」を表します。
ポインティングの定理は、以下のエネルギーの出入りを数式で表したものです。
$$[\text{流れ込み}] = [\text{蓄積（増加）}] + [\text{消費}]$$
まとめ
本記事では、マクスウェル方程式から、電磁場のエネルギー密度 $u$ とエネルギー流束 $\mathbf{S}$、そしてエネルギー保存則であるポインティングの定理を導出しました。
マクスウェル方程式は、単に電場と磁場の振る舞いを決めるだけでなく、エネルギーの保存という物理の大原則も内包していることが、この導出を通じて理解できたと思います。
この流れを理解しておきましょう!(^^)!
ではまた！
