前回の記事では、ネーターの定理の適用例として「空間並進対称性」が運動量保存則を導く過程を解説しました。
前回の記事はこちらです↓↓↓
３つの主要な対称性についてざっくり学びたい方はこちらです↓↓↓
今回の記事では、適用例の第2弾として「時間の平行移動（時間並進変換）」を扱います。
それではやっていきましょう!(^^)!
時間並進対称性の数学的表現
系が時間的に一様である場合、時間の起点をずらしても物理法則を記述するラグランジアンの形は変化しません。
系の時間を微小な定数 $\epsilon$ だけずらす時間並進変換を定義します。
$$t \to t + \epsilon$$
時間が一様である系においては、ラグランジアン $L(q, \dot{q}, t)$ が時間の直接的な関数ではない（陽に時間を含まない）という条件が成り立ちます。
これを数式で表すと以下のようになります。
$$\frac{\partial L}{\partial t} = 0$$
これが時間並進対称性を持つための条件です。
エネルギー保存則の導出
ラグランジアン $L(q, \dot{q}, t)$ の全時間微分 $\frac{dL}{dt}$ を、連鎖律を用いて展開します。
$$\frac{dL}{dt} = \sum_i \left( \frac{\partial L}{\partial q_i}\dot{q}_i + \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}\ddot{q}_i \right) + \frac{\partial L}{\partial t}$$
ここで、時間並進対称性の条件 $\frac{\partial L}{\partial t} = 0$ を適用し、さらにオイラー・ラグランジュ方程式
$$\frac{\partial L}{\partial q_i} = \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}\right)$$
を第1項に代入します。
$$\frac{dL}{dt} = \sum_i \left\{ \left[ \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}\right) \right] \dot{q}_i + \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}\ddot{q}_i \right\}$$
右辺の中括弧の中身は、積の微分公式 $\frac{d}{dt}(AB) = \dot{A}B + A\dot{B}$ の形になっています。
したがって、一つの時間微分にまとめることができます。
$$\frac{dL}{dt} = \frac{d}{dt} \sum_i \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \dot{q}_i \right)$$
左辺の $\frac{dL}{dt}$ を右辺へ移項し、微分演算子 $\frac{d}{dt}$ で全体をくくります。
一般化運動量 $p_i = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}$ を用いると、式は以下のようになります。
$$\frac{d}{dt} \left( \sum_i p_i \dot{q}_i – L \right) = 0$$
カッコ内の量が時間微分して $0$ になるということは、この量が時間的に一定（保存量）であることを意味します。
$$\sum_i p_i \dot{q}_i – L = \text{一定}$$
この保存量は、以前の記事で定義した「ハミルトニアン $H$」そのものです。
つまり、時間が陽に含まれない系ではハミルトニアンが保存します。
保存量と全エネルギーの一致（具体例）
導出された保存量（ハミルトニアン）が何を意味するのかを明確にするため、一般的な保存系を考えます。
運動エネルギー $T$ が速度の2次形式で表され、ポテンシャルエネルギー $V$ が座標のみに依存する系（単振動や自由落下など）を設定します。
$$L = T – V = \sum_i \frac{1}{2}m_i\dot{q}_i^2 – V(q)$$
このラグランジアンから一般化運動量 $p_i$ を計算します。
$$p_i = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} = m_i\dot{q}_i$$
保存量であるハミルトニアン $H = \sum_i p_i \dot{q}_i – L$ にこれを代入し、具体的に計算します。
第1項は次のように変形できます。
$$\sum_i p_i \dot{q}_i = \sum_i (m_i\dot{q}_i)\dot{q}_i = \sum_i m_i\dot{q}_i^2 = 2T$$
これをハミルトニアンの式に代入します。
$$H = 2T – (T – V) = T + V$$
結果として得られた $T + V$ は、運動エネルギーとポテンシャルエネルギーの和、すなわち「系の全エネルギー」です。
ネーターの定理から導かれたハミルトニアンの保存は、物理的によく知られたエネルギー保存則に他ならないことが確認できました。
まとめ
時間の平行移動に対してラグランジアンが変化しないという「時間の一様性（時間並進対称性）」は、系の全エネルギー（ハミルトニアン）が保存されるという法則を導きます。
次回は「回転対称性」を扱い、空間の等方性がどのようにして角運動量保存則を導くのかを解説します。
ではまた(^^)/~~~
