ネーターの定理とは？ネーターチャージの一般的な導出をわかりやすく解説

物理学において、エネルギー保存則、運動量保存則、角運動量保存則といった「保存則」は、系の運動を記述し、理解する上で極めて重要な役割を果たします。

ニュートン力学では、これらの保存則は運動方程式から個別に導出されていました。

しかし、解析力学の枠組みにおいて、ドイツの数学者エミー・ネーター（Emmy Noether）によって導かれた「ネーターの定理」は、これらの保存則が、物理法則が持つ「対称性」と深く、普遍的に結びついていることを明らかにしました。

本記事では、ネーターの定理の総論として、その概念と、物理学における3つの主要な対称性について概説します。

連続的な対称性とネーターの定理
ネーターの定理の一般的な導出 (ネーターチャージ)
3つの主要な対称性と保存則
まとめ

連続的な対称性とネーターの定理

系のラグランジアン $L(q, \dot{q}, t)$ に対して、ある微小な連続変換（座標のわずかなズレなど）を施したとします。

この変換によって系の作用積分（あるいはラグランジアンそのもの）が変化しないとき、その系は「対称性を持つ」と言います。

ネーターの定理は、「系に連続的な対称性が存在すれば、それに対応する保存量が必ず存在する」と主張します。

ネーターの定理の一般的な導出 (ネーターチャージ)

任意の微小パラメータ $\epsilon$ によって特徴付けられる座標の連続変換を考えます。

各一般化座標 $q_i$ の変分 $\delta q_i$ を以下のように表します。

$$\delta q_i = \epsilon K_i(q, \dot{q}, t)$$

ここで、$K_i$ は変換の性質を決める関数です。この変換によってラグランジアン $L$ が全く変化しない（$\delta L = 0$）と仮定します。

ラグランジアンの変分は、テーラー展開の1次近似により次のように計算されます。

$$\delta L = \sum_i \left( \frac{\partial L}{\partial q_i} \delta q_i + \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \delta \dot{q}_i \right) = 0$$

ここで、変分の時間微分と時間微分の変分が交換可能であること（$\delta \dot{q}_i = \frac{d}{dt}\delta q_i$）を利用し、さらにオイラー・ラグランジュ方程式 $\frac{\partial L}{\partial q_i} = \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}\right)$ を第1項に代入します。

$$\sum_i \left\{ \left[ \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \right) \right] \delta q_i + \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \frac{d}{dt}(\delta q_i) \right\} = 0$$

この式の左辺は、積の微分の公式 $\frac{d}{dt}(AB) = \dot{A}B + A\dot{B}$ を用いることで、一つの時間微分にまとめることができます。

一般化運動量 $p_i = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}$ を用いると、式は以下のようになります。

$$\frac{d}{dt} \sum_i \left( p_i \delta q_i \right) = 0$$

微小パラメータ $\epsilon$ をくくり出すと、次のようになります。

$$\epsilon \frac{d}{dt} \sum_i \left( p_i K_i \right) = 0$$

$\epsilon$ は任意の定数であるため、時間微分の中身である $\sum_i p_i K_i$ が時間に対して一定（保存量）であることが証明されます。

これがネーターの定理の骨格であり、この保存量はネーター・チャージとも呼ばれます。