電磁気学を学ぶ上で必ず出てくるのが「マクスウェル方程式」です。
一見すると複雑な偏微分方程式が並んでいますが、実はこの4つの式だけで、電気と磁気に関するすべての現象を説明することができます。
本記事では、それぞれの数式が持つ「物理的な意味」と、どのようにしてその式が導かれたのかを丁寧に解説していきたいと思います!(^^)!
電場に関するガウスの法則
$$\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}$$
- $\mathbf{E}$：電場
- $\rho$：電荷密度
- $\varepsilon_0$：真空の誘電率
意味
「電荷が存在すると、そこから電場が湧き出す（または吸い込まれる）」ということを表しています。
左辺の $\nabla \cdot$（ダイバージェンス）は「湧き出し」を意味する数学記号です。
イメージはこんな感じです↓↓↓
導出
出発点となるのは、実験事実であるクーロンの法則から導かれる「ガウスの法則（積分形）」です。
閉曲面 $S$ を貫く電場の総量（電束）は、その内部の体積 $V$ に含まれる総電荷 $Q$ に比例します。
$$\oint_S \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} = \frac{Q}{\varepsilon_0}$$
ここで、空間の電荷密度を $\rho$ とすると、総電荷 $Q$ は体積積分で表せます。
$$Q = \int_V \rho \, dV$$
また、左辺の面積分には、数学のガウスの発散定理（面積分を体積分に変換する定理）を適用します。
$$\oint_S \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} = \int_V (\nabla \cdot \mathbf{E}) dV$$
これらを元の式に代入して両辺を比べます。
$$\int_V (\nabla \cdot \mathbf{E}) dV = \int_V \frac{\rho}{\varepsilon_0} dV$$
$$\int_V \left( \nabla \cdot \mathbf{E} – \frac{\rho}{\varepsilon_0} \right) dV = 0$$
積分領域 $V$ は任意に選べるため、この等式が常に成り立つには積分の中身そのものがゼロでなければなりません。これにより微分形が導かれます。
$$\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}$$
磁場に関するガウスの法則
$$\nabla \cdot \mathbf{B} = 0$$
- $\mathbf{B}$：磁束密度（磁場）
意味
「磁場には湧き出し口も吸い込み口もない」ということを表しています。
磁力線は必ずループ状に閉じる性質を持ちます。
導出
磁気単極子（モノポール）が存在しないという実験事実から、任意の閉曲面 $S$ を出入りする磁束の総和は必ずゼロになります（積分形）。
$$\oint_S \mathbf{B} \cdot d\mathbf{A} = 0$$
電場の場合と全く同じように、左辺にガウスの発散定理を適用し、面積分を体積分に変換します。
$$\int_V (\nabla \cdot \mathbf{B}) dV = 0$$
ここでも積分領域 $V$ は任意であるため、積分の中身が常にゼロでなければならないという論法を使います。
$$\nabla \cdot \mathbf{B} = 0$$
ファラデーの電磁誘導の法則
$$\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}$$
意味
「磁場が時間的に変化すると、その周囲に渦を巻くように電場が発生する」ことを表しています。
左辺の $\nabla \times$（ローテーション）は「渦（回転）」を意味します。
右辺のマイナス符号は、変化を打ち消す方向に電場が生じること（レンツの法則）を示しています。
イメージはこんな感じです↓↓↓
導出
出発点は、コイル（閉回路 $C$）に生じる誘導起電力 $V$ が、貫く磁束 $\Phi_B$ の時間変化に等しいという実験事実です。
$$V = -\frac{d\Phi_B}{dt}$$
起電力 $V$ は電場 $\mathbf{E}$ の線積分、磁束 $\Phi_B$ は磁場 $\mathbf{B}$ の面積分（面 $S$）で表せるため、以下の積分形になります。
$$\oint_C \mathbf{E} \cdot d\mathbf{l} = -\frac{d}{dt} \int_S \mathbf{B} \cdot d\mathbf{A} = -\int_S \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \cdot d\mathbf{A}$$
（※積分領域が時間変化しないと仮定し、時間微分を積分の中に入れています）
ここで、左辺の線積分にストークスの定理（線積分を面積分に変換する定理）を適用します。
$$\oint_C \mathbf{E} \cdot d\mathbf{l} = \int_S (\nabla \times \mathbf{E}) \cdot d\mathbf{A}$$
両辺の面積分を比較します。
$$\int_S (\nabla \times \mathbf{E}) \cdot d\mathbf{A} = \int_S \left( -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \right) \cdot d\mathbf{A}$$
$$\int_S \left( \nabla \times \mathbf{E} + \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \right) \cdot d\mathbf{A} = 0$$
任意の面 $S$ についてこれが成り立つため、積分の中身がゼロになります。
$$\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}$$
アンペール＝マクスウェルの法則
$$\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{j} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}$$
- $\mu_0$：真空の透磁率
- $\mathbf{j}$：電流密度
意味
磁場が発生する原因は2つあることを示しています。
- 電流が流れること（右辺第1項：$\mu_0 \mathbf{j}$）
- 電場が時間的に変化すること（右辺第2項：$\mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}$）
イメージはこんな感じです↓↓↓
導出
アンペールの法則（積分形）は、閉回路 $C$ に沿った磁場の積分が、内部を貫く電流 $I$ に比例するというものです。
$$\oint_C \mathbf{B} \cdot d\mathbf{l} = \mu_0 I$$
電流 $I$ を電流密度 $\mathbf{j}$ の面積分とし、左辺にストークスの定理を用いると、以下の式が得られます（アンペールの法則の微分形）。
$$\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{j}$$
【マクスウェルの修正（変位電流の導入）】
しかし、この式には数学的な矛盾がありました。両辺の発散（$\nabla \cdot$）をとってみます。
数学の公式により、任意のベクトルの回転のさらに発散をとると必ずゼロになります（$\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{B}) \equiv 0$）。
しかし右辺は、電荷保存則（連続の式：$\nabla \cdot \mathbf{j} + \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0$）からゼロになるとは限りません。
$$0 = \mu_0 (\nabla \cdot \mathbf{j}) = -\mu_0 \frac{\partial \rho}{\partial t} \neq 0 \quad \text{（矛盾！）}$$
そこでマクスウェルは、ガウスの法則（$\rho = \varepsilon_0 \nabla \cdot \mathbf{E}$）を使って連続の式を書き換えました。
$$\nabla \cdot \mathbf{j} + \frac{\partial}{\partial t}(\varepsilon_0 \nabla \cdot \mathbf{E}) = 0$$
$$\nabla \cdot \left( \mathbf{j} + \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} \right) = 0$$
つまり、元の電流密度 $\mathbf{j}$ に「電場の時間変化」の項を足したものを新しい電流とみなせば、発散をとったときに綺麗にゼロになり矛盾が消えます。
この追加された項が変位電流です。これをアンペールの法則の右辺に組み込むことで、最終的な方程式が完成します。
$$\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \left( \mathbf{j} + \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} \right)$$
まとめ
いかがだったでしょうか。
今回のまとめです。
- 電場のガウスの法則：電荷から電場が湧き出す（吸い込まれる）。
- 磁場のガウスの法則：磁力線は必ずループし、磁気モノポールは存在しない。
- ファラデーの電磁誘導の法則：磁場の時間変化が、渦を巻く電場をつくる。
- アンペール＝マクスウェルの法則：電流と「電場の時間変化」が、磁場をつくる。
マクスウェル方程式は式からどのような状況かを視覚的にとらえられるようにしておきましょう!(^^)!
ではまた(^^)/~~~
