本記事では、ベクトル解析の基礎となる3つの微分演算子（grad、div、rot）について、数学的な定義と具体的な計算方法を解説していきたいと思います(^^)/
導入
演算子の解説に入る前に、空間における物理量の表し方である「場」と、微分演算子「ナブラ」について定義します。
- スカラー場:
空間の各点に対して、温度や電位などの単一の数値（スカラー量）が対応する空間のことです。関数 $f(x, y, z)$ として表されます。 - ベクトル場:
空間の各点に対して、電場や速度などの大きさと向きを持つ量（ベクトル量）が対応する空間のことです。関数 $\vec{A}(x, y, z) = (A_x, A_y, A_z)$ として表されます。
これらの場に対して微分操作を行うための記号として、ナブラ演算子（$\nabla$）を導入します。
直交座標系 $(x, y, z)$ において、$\nabla$ は各成分が偏微分で構成されるベクトルとして、以下のように定義されます。
$$\nabla = \left( \frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z} \right)$$
勾配 grad
勾配 gradは、スカラー場に作用してベクトル場を生成する演算です。
定義と意味
数学的な定義
スカラー場 $f$ に対するgradは $\nabla f$ と表記され、各座標軸に関する偏微分を成分とするベクトルとして定義されます。
$$\text{grad} f = \nabla f = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z} \right)$$
幾何学的な意味
空間内の任意の点において、スカラー量 $f$ の値が最も急激に変化する（増加する）方向とその変化率の大きさを表すベクトルです。
計算例
スカラー場 $f(x, y, z) = x^2 y + z^3$ に対する $\text{grad} f$ を計算します。各変数で偏微分を行います。
$$\frac{\partial f}{\partial x} = 2xy$$
$$\frac{\partial f}{\partial y} = x^2$$
$$\frac{\partial f}{\partial z} = 3z^2$$
したがって、$\nabla f$ は以下のベクトル場となります。
$$\nabla f = (2xy, x^2, 3z^2)$$
発散 div
発散 divは、ベクトル場に作用してスカラー場を生成する演算です。
定義と意味
数学的な定義
ベクトル場 $\vec{A} = (A_x, A_y, A_z)$ に対するdivは $\nabla \cdot \vec{A}$ と表記されます。ナブラ演算子とベクトル場の内積の形式で計算され、結果はスカラーとなります。
$$\text{div} \vec{A} = \nabla \cdot \vec{A} = \frac{\partial A_x}{\partial x} + \frac{\partial A_y}{\partial y} + \frac{\partial A_z}{\partial z}$$
幾何学的な意味
空間内の任意の点における、単位体積あたりのベクトル場の「湧き出し量」または「吸い込み量」を示します。
計算結果が正であればその点で場が湧き出しており、負であれば吸い込まれていることを意味します。
計算例
ベクトル場 $\vec{A}(x, y, z) = (x^2 y, yz, xz^2)$ に対する $\text{div} \vec{A}$ を計算します。
各成分を対応する変数で偏微分して足し合わせます。
$$\frac{\partial A_x}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(x^2 y) = 2xy$$
$$\frac{\partial A_y}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(yz) = z$$
$$\frac{\partial A_z}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial z}(xz^2) = 2xz$$
したがって、$\nabla \cdot \vec{A}$ は以下のスカラー場となります。
$$\nabla \cdot \vec{A} = 2xy + z + 2xz$$
回転 rot
回転 rot は、ベクトル場に作用して新たなベクトル場を生成する演算です。
定義と意味
数学的な定義
ベクトル場 $\vec{A}$ に対するrotは $\nabla \times \vec{A}$ と表記されます。ナブラ演算子とベクトル場の外積の形式で計算され、以下のように定義されます。
$$\text{rot} \vec{A} = \nabla \times \vec{A} = \left( \frac{\partial A_z}{\partial y} – \frac{\partial A_y}{\partial z}, \frac{\partial A_x}{\partial z} – \frac{\partial A_z}{\partial x}, \frac{\partial A_y}{\partial x} – \frac{\partial A_x}{\partial y} \right)$$
幾何学的な意味
空間内の任意の点において、ベクトル場が構成する「循環（渦）」の強さと、その回転軸の方向を示すベクトルです。
計算例
ベクトル場 $\vec{A}(x, y, z) = (xy, yz, zx)$ に対する $\text{rot} \vec{A}$ を計算します。
定義に従い、各成分を計算します。
- $x$成分：
$$\frac{\partial A_z}{\partial y} – \frac{\partial A_y}{\partial z} = \frac{\partial (zx)}{\partial y} – \frac{\partial (yz)}{\partial z} = 0 – y = -y$$ - $y$成分：
$$\frac{\partial A_x}{\partial z} – \frac{\partial A_z}{\partial x} = \frac{\partial (xy)}{\partial z} – \frac{\partial (zx)}{\partial x} = 0 – z = -z$$ - $z$成分：
$$\frac{\partial A_y}{\partial x} – \frac{\partial A_x}{\partial y} = \frac{\partial (yz)}{\partial x} – \frac{\partial (xy)}{\partial y} = 0 – x = -x$$
したがって、$\nabla \times \vec{A}$ は以下のベクトル場となります。
$$\nabla \times \vec{A} = (-y, -z, -x)$$
まとめ
本記事で解説した grad、div、rot の各演算について、演算名、記号表示、および計算方法を以下の表にまとめます。
今回はこれで以上になります。
ではまた！
