前回の記事では、直交座標から2次元極座標への変数変換と、極座標系における正規直交基底ベクトル $\vec{e}_r, \vec{e}_\theta$ を導出しました。
前回の記事はこちらです↓↓↓
今回の記事では、その基底ベクトルを用いて、スカラー場に対する勾配（grad）と、ベクトル場に対する発散（div）、回転（rot）の公式を導出していきたいと思います(^^)/
準備1：偏微分の連鎖律（チェインルール）
微分演算子を直交座標系から極座標系へ変換するために、連鎖律（チェインルール）を用います。
関数 $f(x, y)$ に対する偏微分操作は、極座標変数 $r, \theta$ を用いて次のように展開されます。
$$\frac{\partial}{\partial x} = \frac{\partial r}{\partial x}\frac{\partial}{\partial r} + \frac{\partial \theta}{\partial x}\frac{\partial}{\partial \theta}$$
$$\frac{\partial}{\partial y} = \frac{\partial r}{\partial y}\frac{\partial}{\partial r} + \frac{\partial \theta}{\partial y}\frac{\partial}{\partial \theta}$$
ここで、$r = \sqrt{x^2 + y^2}$ と $\theta = \arctan(y/x)$ をそれぞれ $x, y$ で偏微分して係数を求めます。
$$\frac{\partial r}{\partial x} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}} = \frac{r\cos\theta}{r} = \cos\theta$$
$$\frac{\partial r}{\partial y} = \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}} = \frac{r\sin\theta}{r} = \sin\theta$$
合成関数の微分公式を用いて $\theta$ も偏微分します。
$$\frac{\partial \theta}{\partial x} = \frac{1}{1 + (y/x)^2} \cdot \left(-\frac{y}{x^2}\right) = -\frac{y}{x^2 + y^2} = -\frac{r\sin\theta}{r^2} = -\frac{\sin\theta}{r}$$
$$\frac{\partial \theta}{\partial y} = \frac{1}{1 + (y/x)^2} \cdot \left(\frac{1}{x}\right) = \frac{x}{x^2 + y^2} = \frac{r\cos\theta}{r^2} = \frac{\cos\theta}{r}$$
これにより、直交座標系の微分演算子は極座標系において以下のように変換されます。
$$\frac{\partial}{\partial x} = \cos\theta\frac{\partial}{\partial r} – \frac{\sin\theta}{r}\frac{\partial}{\partial \theta}$$
$$\frac{\partial}{\partial y} = \sin\theta\frac{\partial}{\partial r} + \frac{\cos\theta}{r}\frac{\partial}{\partial \theta}$$
準備2：基底ベクトルの微分
直交座標系の基底ベクトル $\vec{e}_x, \vec{e}_y$ は場所によらず一定（定ベクトル）であるため、微分するとゼロになります。
しかし、極座標系の基底ベクトル $\vec{e}_r, \vec{e}_\theta$ は、角度 $\theta$ によってその向きを変えます。
前回の記事で導出した基底ベクトルの定義式を振り返ります。
$$\vec{e}_r = \cos\theta\vec{e}_x + \sin\theta\vec{e}_y$$
$$\vec{e}_\theta = -\sin\theta\vec{e}_x + \cos\theta\vec{e}_y$$
これらを $r$ と $\theta$ でそれぞれ偏微分します。$r$ には依存しないため、$r$ での偏微分はゼロです。
$$\frac{\partial \vec{e}_r}{\partial r} = 0, \quad \frac{\partial \vec{e}_\theta}{\partial r} = 0$$
次に $\theta$ で偏微分します。
$$\frac{\partial \vec{e}_r}{\partial \theta} = -\sin\theta\vec{e}_x + \cos\theta\vec{e}_y = \vec{e}_\theta$$
$$\frac{\partial \vec{e}_\theta}{\partial \theta} = -\cos\theta\vec{e}_x – \sin\theta\vec{e}_y = -(\cos\theta\vec{e}_x + \sin\theta\vec{e}_y) = -\vec{e}_r$$
この2つの関係式（ $\frac{\partial \vec{e}_r}{\partial \theta} = \vec{e}_\theta, \frac{\partial \vec{e}_\theta}{\partial \theta} = -\vec{e}_r$ ）は、極座標系における発散と回転を導出する際の鍵となります。
勾配（grad）の導出
直交座標系における勾配は $\nabla f = \frac{\partial f}{\partial x}\vec{e}_x + \frac{\partial f}{\partial y}\vec{e}_y$ です。
ここに第1項で導出した微分演算子の変換式を代入し、さらに直交基底ベクトルを極座標の基底ベクトルへ逆変換します（$\vec{e}_x = \cos\theta\vec{e}_r – \sin\theta\vec{e}_\theta$, $\vec{e}_y = \sin\theta\vec{e}_r + \cos\theta\vec{e}_\theta$）。
$$\nabla f = \left( \cos\theta\frac{\partial f}{\partial r} – \frac{\sin\theta}{r}\frac{\partial f}{\partial \theta} \right) (\cos\theta\vec{e}_r – \sin\theta\vec{e}_\theta) + \left( \sin\theta\frac{\partial f}{\partial r} + \frac{\cos\theta}{r}\frac{\partial f}{\partial \theta} \right) (\sin\theta\vec{e}_r + \cos\theta\vec{e}_\theta)$$
展開して各基底ベクトルについて整理します。
$\vec{e}_r$ の係数：
$$(\cos^2\theta + \sin^2\theta)\frac{\partial f}{\partial r} = \frac{\partial f}{\partial r}$$
$\vec{e}_\theta$ の係数：
$$\frac{\sin^2\theta + \cos^2\theta}{r}\frac{\partial f}{\partial \theta} = \frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial \theta}$$
したがって、2次元極座標系におけるスカラー場の勾配（ナブラ演算子）は次のように導出されます。
$$\nabla f = \frac{\partial f}{\partial r}\vec{e}_r + \frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial \theta}\vec{e}_\theta$$
$$\nabla = \vec{e}_r \frac{\partial}{\partial r} + \vec{e}_\theta \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial \theta}$$
発散（div）の導出
極座標系におけるベクトル場を $\vec{A} = A_r\vec{e}_r + A_\theta\vec{e}_\theta$ と定義し、発散 $\nabla \cdot \vec{A}$ を計算します。
$$\nabla \cdot \vec{A} = \left( \vec{e}_r \frac{\partial}{\partial r} + \vec{e}_\theta \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial \theta} \right) \cdot (A_r\vec{e}_r + A_\theta\vec{e}_\theta)$$
積の微分法則を用いながら展開します。ここで、第2項で求めた「基底ベクトルの微分」を適用します。
第1項（$r$ による偏微分）：
$$\vec{e}_r \cdot \frac{\partial}{\partial r}(A_r\vec{e}_r + A_\theta\vec{e}_\theta) = \vec{e}_r \cdot \left( \frac{\partial A_r}{\partial r}\vec{e}_r + \frac{\partial A_\theta}{\partial r}\vec{e}_\theta \right) = \frac{\partial A_r}{\partial r}$$
（※ $\vec{e}_r \cdot \vec{e}_r = 1, \vec{e}_r \cdot \vec{e}_\theta = 0$ を使用）
第2項（$\theta$ による偏微分）：
$$\vec{e}_\theta \frac{1}{r} \cdot \frac{\partial}{\partial \theta}(A_r\vec{e}_r + A_\theta\vec{e}_\theta)$$
$$= \frac{1}{r} \vec{e}_\theta \cdot \left( \frac{\partial A_r}{\partial \theta}\vec{e}_r + A_r\frac{\partial \vec{e}_r}{\partial \theta} + \frac{\partial A_\theta}{\partial \theta}\vec{e}_\theta + A_\theta\frac{\partial \vec{e}_\theta}{\partial \theta} \right)$$
ここで $\frac{\partial \vec{e}_r}{\partial \theta} = \vec{e}_\theta$、$\frac{\partial \vec{e}_\theta}{\partial \theta} = -\vec{e}_r$ を代入します。
$$= \frac{1}{r} \vec{e}_\theta \cdot \left( \frac{\partial A_r}{\partial \theta}\vec{e}_r + A_r\vec{e}_\theta + \frac{\partial A_\theta}{\partial \theta}\vec{e}_\theta – A_\theta\vec{e}_r \right)$$
内積（$\vec{e}_\theta \cdot \vec{e}_\theta = 1, \vec{e}_\theta \cdot \vec{e}_r = 0$）を計算します。
$$= \frac{1}{r} \left( A_r + \frac{\partial A_\theta}{\partial \theta} \right)$$
両者を足し合わせます。
$$\nabla \cdot \vec{A} = \frac{\partial A_r}{\partial r} + \frac{1}{r}A_r + \frac{1}{r}\frac{\partial A_\theta}{\partial \theta}$$
微分の積の法則 $\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}(rA_r) = \frac{1}{r}\left(A_r + r\frac{\partial A_r}{\partial r}\right) = \frac{A_r}{r} + \frac{\partial A_r}{\partial r}$ を用いて前2項をまとめると、公式が完成します。
$$\nabla \cdot \vec{A} = \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}(r A_r) + \frac{1}{r}\frac{\partial A_\theta}{\partial \theta}$$
回転（rot）の導出
2次元平面上のベクトル場 $\vec{A}$ に対する回転 $\nabla \times \vec{A}$ は、平面に垂直な $z$ 方向の成分のみを持ちます。
便宜上、$\vec{e}_r \times \vec{e}_\theta = \vec{e}_z$、$\vec{e}_\theta \times \vec{e}_r = -\vec{e}_z$、$\vec{e}_r \times \vec{e}_r = \vec{e}_\theta \times \vec{e}_\theta = 0$ とします。
$$\nabla \times \vec{A} = \left( \vec{e}_r \frac{\partial}{\partial r} + \vec{e}_\theta \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial \theta} \right) \times (A_r\vec{e}_r + A_\theta\vec{e}_\theta)$$
発散の時と同様に展開します。
第1項：
$$\vec{e}_r \times \frac{\partial}{\partial r}(A_r\vec{e}_r + A_\theta\vec{e}_\theta) = \vec{e}_r \times \left( \frac{\partial A_r}{\partial r}\vec{e}_r + \frac{\partial A_\theta}{\partial r}\vec{e}_\theta \right) = \frac{\partial A_\theta}{\partial r} \vec{e}_z$$
第2項：
$$\vec{e}_\theta \frac{1}{r} \times \frac{\partial}{\partial \theta}(A_r\vec{e}_r + A_\theta\vec{e}_\theta)$$
$$= \frac{1}{r} \vec{e}_\theta \times \left( \frac{\partial A_r}{\partial \theta}\vec{e}_r + A_r\vec{e}_\theta + \frac{\partial A_\theta}{\partial \theta}\vec{e}_\theta – A_\theta\vec{e}_r \right)$$
外積を計算します。
$$= \frac{1}{r} \left( -\frac{\partial A_r}{\partial \theta}\vec{e}_z + A_\theta\vec{e}_z \right)$$
両者を足し合わせ、$\vec{e}_z$ でくくります。
$$\nabla \times \vec{A} = \left( \frac{\partial A_\theta}{\partial r} + \frac{1}{r}A_\theta – \frac{1}{r}\frac{\partial A_r}{\partial \theta} \right) \vec{e}_z$$
発散の時と同じように、前2項を積の微分法則を用いてまとめます。
$$(\nabla \times \vec{A})_z = \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}(r A_\theta) – \frac{1}{r}\frac{\partial A_r}{\partial \theta}$$
まとめ
これで、2次元極座標系における主要なベクトル微分演算子の導出が完了しました。
次回の記事では、これらの知識を用いて「ラプラシアン（$\Delta$）」の導出を行いたいと思います(^^)/
ではまた！
