行列の掛け算は、通常は図形を回転させたり歪ませたりする複雑な変換を表します。
しかし、ある特別なベクトルに対しては、単なる「定数倍（長さを伸ばしたり縮めたりするだけ）」の単純な変換になります。
この特別なベクトルを固有ベクトル、そのときの定数倍の値を固有値と呼びます。
今回は、固有値と固有ベクトルの定義と、なぜその計算方法で求まるのかという導出、そして具体的な計算手順を簡潔にわかりやすく解説していきたいと思います!(^^)!
固有値と固有ベクトルの定義
$n$ 次正方行列 $A$ に対して、以下の関係式を満たすような、$\mathbf{0}$ ではないベクトル $\mathbf{x}$ とスカラー（定数） $\lambda$ が存在するとき、
$\lambda$ を行列 $A$ の固有値、$\mathbf{x}$ を固有値 $\lambda$ に属する固有ベクトルと定義します。
$$A \mathbf{x} = \lambda \mathbf{x} \quad (\mathbf{x} \neq \mathbf{0})$$
※ ゼロベクトル（$\mathbf{x} = \mathbf{0}$）はどのような行列 $A$ やスカラー $\lambda$ に対しても $A \mathbf{0} = \lambda \mathbf{0} = \mathbf{0}$ となり、意味をなさないため、固有ベクトルからは除外されます。
固有方程式 (特性方程式) の導出
固有値と固有ベクトルを求めるには、定義式を変形していく必要があります。
先ほどの定義式 $A \mathbf{x} = \lambda \mathbf{x}$ の右辺に、単位行列 $I$ を補って変形します。（$I\mathbf{x} = \mathbf{x}$ であるため）
$$A \mathbf{x} = \lambda I \mathbf{x}$$
$$A \mathbf{x} – \lambda I \mathbf{x} = \mathbf{0}$$
$$(A – \lambda I) \mathbf{x} = \mathbf{0}$$
ここで、行列 $(A – \lambda I)$ について考えます。
もし、行列 $(A – \lambda I)$ が逆行列 $(A – \lambda I)^{-1}$ を持つならば、両辺の左から逆行列を掛けることで $\mathbf{x} = \mathbf{0}$ となってしまいます。
しかし、定義より固有ベクトルは $\mathbf{x} \neq \mathbf{0}$ でなければなりません。
したがって、$\mathbf{x} \neq \mathbf{0}$ となる解が存在するための必要十分条件は、行列 $(A – \lambda I)$ が逆行列を持たないこと、すなわち行列式$0$ になることです。
$$\det(A – \lambda I) = 0$$
この方程式を固有方程式（または特性方程式）と呼びます。この方程式を解くことで、固有値 $\lambda$ を求めることができます。
具体的な計算手順
導出から分かるとおり、固有値と固有ベクトルは以下の2ステップで求めます。
- 固有方程式 $\det(A – \lambda I) = 0$ を解いて、固有値 $\lambda$ を求める。
- 求めた $\lambda$ を $(A – \lambda I)\mathbf{x} = \mathbf{0}$ に代入し、連立方程式を解いて固有ベクトル $\mathbf{x}$ を求める。
ではこの手順で実際に固有値・固有ベクトルを求めてみましょう(^^)/
例題
[問題]
次の2次正方行列 $A$ の固有値と固有ベクトルを求めよ。
$$A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$$
[解法]
ステップ1 : 固有値を求める
固有方程式 $\det(A – \lambda I) = 0$ を立てます。
$$\det \begin{pmatrix} 3 – \lambda & 1 \\ 1 & 3 – \lambda \end{pmatrix} = 0$$
行列式を計算します。
$$(3 – \lambda)(3 – \lambda) – 1 \cdot 1 = 0$$
$$\lambda^2 – 6\lambda + 9 – 1 = 0$$
$$\lambda^2 – 6\lambda + 8 = 0$$
$$(\lambda – 2)(\lambda – 4) = 0$$
よって、固有値は $\lambda = 2, 4$ と求まります。
ステップ2 : 固有ベクトルを求める
求めた固有値ごとに、固有ベクトル $\mathbf{x} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}$ を求めます。
① $\lambda = 2$ のとき
$(A – 2I)\mathbf{x} = \mathbf{0}$ に代入します。
$$\begin{pmatrix} 3-2 & 1 \\ 1 & 3-2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$
$$\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$
これより、$x_1 + x_2 = 0$ すなわち $x_2 = -x_1$ が得られます。
$x_1 = c_1$（$c_1 \neq 0$ の任意定数）とおくと、固有ベクトルは
$$\mathbf{x} = c_1 \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$$
となります。
② $\lambda = 4$ のとき
$(A – 4I)\mathbf{x} = \mathbf{0}$ に代入します。
$$\begin{pmatrix} 3-4 & 1 \\ 1 & 3-4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$
$$\begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$
これより、$-x_1 + x_2 = 0$ すなわち $x_1 = x_2$ が得られます。
$x_1 = c_2$（$c_2 \neq 0$ の任意定数）とおくと、固有ベクトルは
$$\mathbf{x} = c_2 \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$$
となります。
まとめ
今回のまとめです。
固有値問題は、後の「行列の対角化」などの強力な計算手法の基礎となります。
定義と「なぜ行列式が0になるのか」という導出の理屈を必ず押さえておきましょう!(^^)!
ではまた(^^)/~~~
