こんにちは！
バタバタしていて久しぶり(約１年ぶり)の投稿になりました^^;
今回は、物理や数学を学んでいると、ふとした時に登場する「逆三角関数」。
これらを微分するとどのような形になるのか、公式とその導出過程を分かりやすく解説していきます！
逆三角関数の微分公式まとめ
まずは結論から。逆三角関数の微分公式は以下の通りです。
$$\frac{d}{dx} \arcsin x = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \quad (-1 < x < 1)$$
$$\frac{d}{dx} \arccos x = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \quad (-1 < x < 1)$$
$$\frac{d}{dx} \arctan x = \frac{1}{1+x^2}$$
ルートが出てきたり、分母に $x^2$ があったりと、元の三角関数からは想像しにくい形をしていますね。では、なぜこの形になるのかを導出していきましょう。
逆関数の微分法と主値
導出には「逆関数の微分法」を使います。
$y = f(x)$ の逆関数 $x = f^{-1}(y)$ において、以下の関係が成り立ちます。
$$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\frac{dx}{dy}}$$
つまり、$x$ で微分するのが難しければ、「$x = \dots$」の形にして $y$ で微分し、その逆数を取ればよいということです。
また、逆三角関数を定義するためには、多価関数（1つの $x$ に対して複数の $y$ が対応してしまう状態）を防ぐために、$y$ の範囲（主値）を制限する必要があります。
- $\arcsin x$ の主値：$-\frac{\pi}{2} \leq y \leq \frac{\pi}{2}$
- $\arccos x$ の主値：$0 \leq y \leq \pi$
- $\arctan x$ の主値：$-\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2}$
これが導出の途中で非常に重要な役割を果たします。
公式の導出
$\arcsin x$ の微分
$y = \arcsin x$ とおきます。これは $x = \sin y$ と同じ意味です。
両辺を $y$ で微分します。
$$\frac{dx}{dy} = \cos y$$
逆関数の微分法 $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\frac{dx}{dy}}$ より、
$$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\cos y}$$
ここで、結果を $x$ の式に戻すために $\cos^2 y + \sin^2 y = 1$ を使って $\cos y$ を変形します。
$$\cos y = \pm \sqrt{1 – \sin^2 y} = \pm \sqrt{1 – x^2}$$
プラスかマイナスかを決めるために主値を確認します。
$\arcsin x$ の主値は $-\frac{\pi}{2} \leq y \leq \frac{\pi}{2}$ です。この範囲では常に $\cos y \geq 0$ となります。（※分母が0になる $y = \pm\frac{\pi}{2}$、つまり $x = \pm1$ は除外します）
したがって、$\cos y = \sqrt{1 – x^2}$ となり、公式が導かれます。
$$\frac{d}{dx} \arcsin x = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$
$\arccos x$ の微分
$y = \arccos x$ とおきます。すなわち $x = \cos y$ です。
両辺を $y$ で微分します。
$$\frac{dx}{dy} = -\sin y$$
逆関数の微分法より、
$$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sin y}$$
$\arcsin x$ の時と同様に、$\sin y = \pm \sqrt{1 – \cos^2 y} = \pm \sqrt{1 – x^2}$ と変形します。
$\arccos x$ の主値は $0 \leq y \leq \pi$ です。この範囲では常に $\sin y \geq 0$ となります。
したがって、$\sin y = \sqrt{1 – x^2}$ となり、公式が導かれます。
$$\frac{d}{dx} \arccos x = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$
$\arctan x$ の微分
$y = \arctan x$ とおきます。すなわち $x = \tan y$ です。
両辺を $y$ で微分します。
$$\frac{dx}{dy} = \frac{1}{\cos^2 y}$$
逆関数の微分法より、
$$\frac{dy}{dx} = \cos^2 y$$
ここで、三角関数の相互関係 $1 + \tan^2 y = \frac{1}{\cos^2 y}$ を使います。
これを変形すると $\cos^2 y = \frac{1}{1 + \tan^2 y}$ となります。
$\tan y = x$ を代入すれば、あっという間に公式の完成です！
$$\frac{d}{dx} \arctan x = \frac{1}{1+x^2}$$
（$\arctan x$ は二乗の形になるため、主値による符号の考慮は不要です）
まとめ
いかがでしょうか(^^)/
今回のまとめです。
逆三角関数の微分公式を暗記ただ暗記するのではなく、導出からできるようになればめっちゃ便利ですね(^^♪
ではまた！
