本記事では、対称性の高い電流分布が作る磁場を極めて簡単に求めることができる「アンペールの法則」について解説し、代表的な問題（無限長直線電流・ソレノイドコイル）を解いていきたいと思います(^^)/
アンペールの法則とは
アンペールの法則は、任意の閉曲線に沿って磁場 $\mathbf{B}$ を線積分した値が、そのループを貫く総電流 $I_{\text{enc}}$ の $\mu_0$（真空の透磁率）倍に等しいという法則です。
数式では以下のように表されます。
$$\oint_C \mathbf{B} \cdot d\mathbf{l} = \mu_0 I_{\text{enc}}$$
この法則自体は常に成り立ちますが、実際に磁場 $B$ の大きさを計算する強力なツールとして使えるのは、「電流の分布に対称性がある場合」に限られます。
対称性を利用して、積分経路 $C$ 上で磁場 $B$ の大きさが一定であり、かつ経路と磁場の向きが平行になるようにループを賢く選ぶことで、左辺の積分から $B$ を外に出すことができます。
$$\oint_C \mathbf{B} \cdot d\mathbf{l} = B \oint_C dl = B \times (\text{ループの長さ})$$
これにより、複雑な積分計算を回避して代数方程式に持ち込むことができます。
【演習問題1】無限に長い直線電流が作る磁場
最も基本となる、無限長直線電流の磁場を求めてみましょう。
【問題】
無限に長い直線の導線に、定常電流 $I$ が流れています。導線から垂直距離 $r$ だけ離れた点における磁場の大きさ $B$ を求めなさい。
【解法】
１．対称性の確認と積分経路の選択
電流が無限に長い直線であるため、系は円柱対称性を持ちます。
したがって、磁場は導線を中心とする同心円状に発生し、導線から等距離 $r$ の円周上では、磁場の大きさ $B$ はどこでも一定になります。
そこで、積分経路 $C$ として、導線を中心とする半径 $r$ の円を選びます。
２．左辺（線積分）の計算
選んだ円周上では、微小な経路ベクトル $d\mathbf{l}$ と磁場 $\mathbf{B}$ は常に平行です。
また $B$ は一定なので積分の外に出せます。
$$\oint_C \mathbf{B} \cdot d\mathbf{l} = \oint_C B \, dl = B \oint_C dl = B (2\pi r)$$
３．右辺（貫く電流）の計算
この半径 $r$ の円（閉曲線）が囲む面を貫く電流 $I_{\text{enc}}$ は、導線を流れる $I$ そのものです。
$$\mu_0 I_{\text{enc}} = \mu_0 I$$
４．磁場の導出
左辺と右辺を等置して $B$ について解きます。
$$B (2\pi r) = \mu_0 I$$
$$B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$$
【演習問題2】無限に長いソレノイドコイル内部の磁場
次に、ソレノイドコイルの内部磁場を求めます。
【問題】
単位長さあたりの巻数が $n$ の無限に長い理想的なソレノイドに、電流 $I$ が流れています。ソレノイド内部の磁場の大きさ $B$ を求めなさい。
【解法】
１．対称性の確認と積分経路の選択
無限に長いソレノイドの場合、対称性から以下のことが言えます。
- 内部の磁場は中心軸に平行で一様である。
- 外部の磁場はゼロである。
そこで、積分経路として、コイルの軸に平行な辺（長さ $L$）を持つ長方形ループ $abcd$ を考えます。
辺 $ab$ はコイル内部、辺 $cd$ はコイル外部に配置し、辺 $bc, da$ は軸に垂直とします。
２．左辺（線積分）の計算
長方形ループの線積分は4つの辺の合計になります。
$$\oint_C \mathbf{B} \cdot d\mathbf{l} = \int_a^b \mathbf{B} \cdot d\mathbf{l} + \int_b^c \mathbf{B} \cdot d\mathbf{l} + \int_c^d \mathbf{B} \cdot d\mathbf{l} + \int_d^a \mathbf{B} \cdot d\mathbf{l}$$
- 辺 $ab$（内部）: $\mathbf{B}$ と $d\mathbf{l}$ が平行なので $\int_a^b B \, dl = B L$
- 辺 $bc, da$（垂直）: $\mathbf{B}$ と $d\mathbf{l}$ が垂直なので内積はゼロ。
- 辺 $cd$（外部）: 外部の磁場はゼロなので積分もゼロ。
よって、左辺は $BL$ となります。
３．右辺（貫く電流）の計算
長さ $L$ の区間には、コイルが $nL$ 回巻かれています。
それぞれの導線に電流 $I$ が流れているため、長方形ループを貫く総電流 $I_{\text{enc}}$ は以下のようになります。
$$\mu_0 I_{\text{enc}} = \mu_0 (nL I)$$
４．磁場の導出
左辺と右辺を等置して $B$ について解きます。
$$B L = \mu_0 n L I$$$$B = \mu_0 n I$$
このように、ソレノイド内部の磁場は一様であり、コイルの太さや中心からの距離に依存しないことがわかります。
まとめ
本記事では、アンペールの法則を用いて、直線電流とソレノイドコイルが作る磁場を導出しました。
系に対称性がある場合、適切な閉曲線を選ぶことで、少ない計算量で磁場を求めることができます。
今回はこれで以上になります(^^)/
ではまた！
