空間に存在する電場 $\mathbf{E}$ と磁場 $\mathbf{B}$ はエネルギーを持ちます。
本記事では、コンデンサーとコイル（ソレノイド）の例から、単位体積あたりの電磁場のエネルギー密度 $u = \frac{1}{2}\varepsilon_0 \vert{}\mathbf{E}\vert{}^2 + \frac{1}{2\mu_0} \vert{}\mathbf{B}\vert{}^2$ を導出したいと思います(^^)/
電場のエネルギー密度
極板面積 $S$、極板間隔 $d$ の平行平板コンデンサーを考えます。
極板間の電場を $E$ とすると、コンデンサーの電圧は $V = Ed$ となります。
また、真空の誘電率を $\varepsilon_0$ とすると、静電容量 $C$ は $C = \varepsilon_0 \frac{S}{d}$ です。
コンデンサーに蓄えられる静電エネルギー $U_e$ は以下の通りです。
$$U_e = \frac{1}{2}CV^2$$
ここに $C$ と $V$ の式を代入します。
$$U_e = \frac{1}{2} \left( \varepsilon_0 \frac{S}{d} \right) (Ed)^2 = \frac{1}{2} \varepsilon_0 E^2 (Sd)$$
$Sd$ はコンデンサー内の体積 $V$ を表します。
したがって、単位体積あたりの電場のエネルギー密度 $u_e = U_e / V$ は次のように求まります。
$$u_e = \frac{1}{2}\varepsilon_0 E^2 = \frac{1}{2}\varepsilon_0 \vert{}\mathbf{E}\vert{}^2$$
磁場のエネルギー密度
断面積 $S$、長さ $l$、単位長さあたりの巻数 $n$ の理想的な長端ソレノイドコイルを考えます。
ソレノイドに電流 $I$ を流したとき、内部に生じる磁場は $B = \mu_0 n I$ です。
これを $I$ について解くと $I = \frac{B}{\mu_0 n}$ となります。
また、ソレノイドの自己インダクタンス $L$ は $L = \mu_0 n^2 S l$ です。
コイルに蓄えられる磁気エネルギー $U_m$ は以下の通りです。
$$U_m = \frac{1}{2}LI^2$$
ここに $L$ と $I$ の式を代入します。
$$U_m = \frac{1}{2} (\mu_0 n^2 S l) \left( \frac{B}{\mu_0 n} \right)^2 = \frac{1}{2\mu_0} B^2 (Sl)$$
$Sl$ はソレノイド内の体積 $V$ を表します。
したがって、単位体積あたりの磁場のエネルギー密度 $u_m = U_m / V$ は次のように求まります。
$$u_m = \frac{1}{2\mu_0} B^2 = \frac{1}{2\mu_0} \vert{}\mathbf{B}\vert{}^2$$
電磁場全体のエネルギー密度
空間に電場と磁場が同時に存在する場合、その合計のエネルギー密度 $u$ は $u_e$ と $u_m$ の和として定義されます。
$$u = u_e + u_m = \frac{1}{2}\varepsilon_0 \vert{}\mathbf{E}\vert{}^2 + \frac{1}{2\mu_0} \vert{}\mathbf{B}\vert{}^2$$
まとめ
コンデンサーとコイルの公式から、空間そのものが持つ電磁場のエネルギー密度を導くことが出来ました。
今回はこれで以上になります。
ではまた(^^)/~~~
