こんにちは！
今回は、マクスウェル方程式から電磁波の波動方程式を導出していきたいと思います。
それではやっていきましょう(^^)/
真空中のマクスウェル方程式
波動方程式を導出するため、空間に電荷と電流が存在しない真空状態（$\rho = 0$、$\mathbf{j} = \mathbf{0}$）を仮定します。
この条件をマクスウェル方程式に適用すると、以下の4つの式が得られます。
$$\nabla \cdot \mathbf{E} = 0$$
$$\nabla \cdot \mathbf{B} = 0$$
$$\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}$$
$$\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}$$
（４つのマクスウェル方程式について復習したい方はこちらの記事をご参照ください↓↓↓）
ベクトル解析の公式を用いた展開
ファラデーの電磁誘導の法則の式に対し、両辺の回転（$\nabla \times$）をとります。
$$\nabla \times (\nabla \times \mathbf{E}) = \nabla \times \left(-\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}\right)$$
ここで、左辺の $\nabla \times (\nabla \times \mathbf{E})$ について、$x$ 成分に注目して計算を展開します。
$$[\nabla \times (\nabla \times \mathbf{E})]_x = \frac{\partial}{\partial y}(\nabla \times \mathbf{E})_z – \frac{\partial}{\partial z}(\nabla \times \mathbf{E})_y$$
回転の定義に従って各成分を代入します。
$$= \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{\partial E_y}{\partial x} – \frac{\partial E_x}{\partial y} \right) – \frac{\partial}{\partial z} \left( \frac{\partial E_x}{\partial z} – \frac{\partial E_z}{\partial x} \right)$$
偏微分の順序を入れ替え、項を展開します。
$$= \frac{\partial^2 E_y}{\partial x \partial y} – \frac{\partial^2 E_x}{\partial y^2} – \frac{\partial^2 E_x}{\partial z^2} + \frac{\partial^2 E_z}{\partial x \partial z}$$
この式に $\frac{\partial^2 E_x}{\partial x^2} – \frac{\partial^2 E_x}{\partial x^2} = 0$ を加えて変形します。
$$= \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{\partial E_x}{\partial x} + \frac{\partial E_y}{\partial y} + \frac{\partial E_z}{\partial z} \right) – \left( \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2} \right) E_x$$
第1項の括弧内はダイバージェンス（$\nabla \cdot \mathbf{E}$）、第2項の括弧内はラプラシアン（$\nabla^2$）です。
$$= \frac{\partial}{\partial x} (\nabla \cdot \mathbf{E}) – \nabla^2 E_x$$
$y$ 成分および $z$ 成分についても同様に計算できるため、ベクトル全体として以下の公式が導かれます。
$$\nabla \times (\nabla \times \mathbf{E}) = \nabla(\nabla \cdot \mathbf{E}) – \nabla^2\mathbf{E}$$
これを元の式に適用し、真空中の条件である $\nabla \cdot \mathbf{E} = 0$ を代入すると、左辺は $-\nabla^2\mathbf{E}$ となります。
電場と磁場の波動方程式の導出
式の右辺について、空間微分と時間微分の順序を入れ替えます。
$$-\nabla^2\mathbf{E} = -\frac{\partial}{\partial t}(\nabla \times \mathbf{B})$$
ここに、真空中のアンペール＝マクスウェルの法則（$\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}$）を代入します。
$$-\nabla^2\mathbf{E} = -\frac{\partial}{\partial t}\left(\mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}\right)$$
両辺を整理することで、電場 $\mathbf{E}$ に関する波動方程式が導出されます。
$$\nabla^2\mathbf{E} = \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2}$$
同様の手順をアンペール＝マクスウェルの法則から開始して両辺の回転をとることで、磁場 $\mathbf{B}$ に関する波動方程式も導出されます。
$$\nabla^2\mathbf{B} = \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf{B}}{\partial t^2}$$
光速の算出と物理的帰結
導出された方程式を、一般的な波の物理学における波動方程式 $\nabla^2 u = \frac{1}{v^2} \frac{\partial^2 u}{\partial t^2}$ と比較します。
これにより、電磁波の伝播速度 $v$ は以下の式で決定されます。
$$v = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}}$$
真空の誘電率と真空の透磁率の実験値を代入して計算すると、速度 $v$ は約30万 km/s となります。
この計算結果が光速 $c$ と一致することから、光は電磁波の一種であるという結論が導かれます。
まとめ
今回のまとめです。
電場に関する波動方程式：
$$\nabla^2\mathbf{E} = \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2}$$
磁場に関する波動方程式：
$$\nabla^2\mathbf{B} = \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf{B}}{\partial t^2}$$
真空中の条件（電荷と電流が存在しない状態）を適用し、ベクトル解析の公式を用いて展開することで、電場と磁場がそれぞれ波動方程式を満たすことが示されました。
今回はここまでです。
ではまた！
