多変数の微分積分学において、積分領域の形状や被積分関数の形によっては、別の変数に変換することで計算が容易になる場合があります。
この変数変換を行う際に、変換前後の微小領域の比率を補正する役割を持つのがヤコビアンです。
本記事では、多変数関数の変数変換において必須となる「ヤコビ行列」およびその行列式である「ヤコビアン」の定義と計算方法を解説していきたいと思います(^^)/
ヤコビ行列とヤコビアンの定義
2つの独立変数 $u, v$ から、別の2つの変数 $x, y$ への変換が、微分可能な関数 $x = x(u, v)$ および $y = y(u, v)$ によって与えられているとします。
このとき、各変数の偏微分を成分とする $2 \times 2$ の行列をヤコビ行列（Jacobian matrix）と定義します。
$$\begin{pmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{pmatrix}$$
このヤコビ行列の行列式を、ヤコビアン（Jacobian）またはヤコビ行列式と呼びます。
ヤコビアンは通常、$J$ または $\frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)}$ という記号で表されます。
$$J = \frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)} = \det \begin{pmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{pmatrix} = \frac{\partial x}{\partial u}\frac{\partial y}{\partial v} – \frac{\partial x}{\partial v}\frac{\partial y}{\partial u}$$
※3変数以上の変換（例えば $(u, v, w)$ から $(x, y, z)$ への変換）においても、ヤコビ行列は $3 \times 3$ の偏微分行列となり、その行列式としてヤコビアンが同様に定義されます。
具体的には以下の数式で表されます。
$$J = \frac{\partial(x, y, z)}{\partial(u, v, w)} = \det \begin{pmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} & \frac{\partial x}{\partial w} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} & \frac{\partial y}{\partial w} \\ \frac{\partial z}{\partial u} & \frac{\partial z}{\partial v} & \frac{\partial z}{\partial w} \end{pmatrix}$$
重積分における変数変換と幾何学的意味
重積分において、積分変数を $(x, y)$ から $(u, v)$ に変換する際の公式は以下の通りです。
$$\iint_D f(x, y) dxdy = \iint_{D’} f(x(u, v), y(u, v)) \vert{}J\vert{} dudv$$
ここで、$D$ は $xy$ 平面上の積分領域、$D’$ は対応する $uv$ 平面上の積分領域であり、$\vert{}J\vert{}$ はヤコビアンの絶対値です。
幾何学的な意味
この公式におけるヤコビアンの絶対値 $\vert{}J\vert{}$ は、変数変換による微小領域の「面積の変換倍率」を表しています。
$uv$ 平面上の微小な長方形領域 $dudv$ が、変換によって $xy$ 平面上では平行四辺形の微小領域に写されます。
その写された平行四辺形の面積が、元の面積の何倍になるかを示す値が $\vert{}J\vert{}$ となります。
したがって、面積要素の間には以下の関係が成り立ちます。
$$dxdy = \vert{}J\vert{} dudv$$
具体的な計算例
簡単な線形変換を例に、ヤコビアンを計算します。
変数変換が以下のように定義されているとします。
$$x = 2u + v$$
$$y = u + 3v$$
まず、各変数について偏微分を計算します。
$$\frac{\partial x}{\partial u} = 2, \quad \frac{\partial x}{\partial v} = 1$$
$$\frac{\partial y}{\partial u} = 1, \quad \frac{\partial y}{\partial v} = 3$$
これらをヤコビアンの定義式に代入して行列式を計算します。
$$J = \det \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} = (2)(3) – (1)(1) = 6 – 1 = 5$$
ヤコビアンが $J = 5$ と求まりました。
この結果から、微小面積要素は以下の関係になることが分かります。
$$dxdy = \vert{}5\vert{} dudv = 5 dudv$$
これは、$uv$ 平面上の面積が、$xy$ 平面上では5倍の面積を持つ領域に変換されるという数学的な事実を示しています。
今回はこれで以上です!(^^)!
ではまた！
