今回は電磁気学において「電流が作る磁場」を直接計算できるビオ・サバールの法則について解説していきたいと思います(^^)/
公式は難解に見えますが、演習を重ねることで慣れていくので、公式を確認した後、直線電流の磁場を実際にビオサバールの法則を使って求めていきます。
それではやっていきましょう!(^^)!
ビオ・サバールの法則とは
アンペールの法則は、無限に長い直線や円筒のような対称性の高い場合にしか簡単に解けません。
一方、ビオ・サバールの法則は、どんなに複雑な形の電流であっても、積分を頑張って計算すれば必ず磁場が求まるという万能な法則です。
(ちなみにアンペールの法則の記事はこちらから読めます↓↓↓)
ある空間の観測点 $P$ における磁場 $\mathbf{B}$ は、回路全体を流れる電流の微小な部分（微小電流要素 $I d\mathbf{l}$）が作る微小な磁場 $d\mathbf{B}$ を、すべて足し合わせる（積分する）ことで求まります。
微小磁場 $d\mathbf{B}$ は、以下の式で与えられます。
$$d\mathbf{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I d\mathbf{l} \times \mathbf{r}}{r^3}$$
- $\mu_0$：真空の透磁率
- $I d\mathbf{l}$：微小電流要素（電流の大きさと、微小な長さ・向きを持つベクトル）
- $\mathbf{r}$：微小電流要素から観測点 $P$ に向かう位置ベクトル（その大きさが $r$）
- $\times$：ベクトルの外積
【演習問題】有限長直線電流が作る磁場
それでは、実際に問題を解いてみましょう。
【問題】
長さ $2L$ の細い直線の導線に、電流 $I$ が流れています。この導線の中点を原点とし、導線に垂直に距離 $R$ だけ離れた観測点 $P$ における磁場の大きさ $B$ と向きを求めなさい。
【解法】
１．座標系の設定と微小要素の定義
導線を $z$ 軸上に置き、電流は $-L$ から $+L$ に向かって流れているとします。
観測点 $P$ を $x$ 軸上の $(R, 0, 0)$ に置きます。
$z$ 軸上の任意の位置 $z$ にある、微小な長さ $dz$ の電流要素を考えます。
- 微小電流要素ベクトル：$d\mathbf{l} = (0, 0, dz)$
- 微小要素から観測点 $P$ へのベクトル：$\mathbf{r} = (R, 0, -z)$
- その距離：$r = \vert{}\mathbf{r}\vert{} = \sqrt{R^2 + z^2}$
２．外積の計算
ビオ・サバールの法則の分子にある外積を計算します。
$$d\mathbf{l} \times \mathbf{r} = (0, 0, dz) \times (R, 0, -z) = (0 – 0, R dz – 0, 0 – 0) = (0, R dz, 0)$$
この結果から、微小磁場 $d\mathbf{B}$ は $y$ 成分しか持たないことがわかります。
つまり、磁場の向きは $y$ 軸の正の向き（画面の手前から奥へ向かう方向）です。これは右ねじの法則と完全に一致します。
３．積分の実行
磁場の大きさ $dB$ を書き下すと、以下のようになります。
$$dB = \frac{\mu_0 I}{4\pi} \frac{R dz}{(R^2 + z^2)^{3/2}}$$
これを導線全体（$z = -L$ から $z = +L$）にわたって積分します。
$$B = \int_{-L}^{L} \frac{\mu_0 I R}{4\pi (R^2 + z^2)^{3/2}} dz$$
この積分は、変数変換を用いて解くのが定石です。図の角度 $\theta$ を用いて、$z = R \tan\theta$ と置換します。
- $dz = \frac{R}{\cos^2\theta} d\theta$
- $(R^2 + z^2)^{3/2} = (R^2 + R^2 \tan^2\theta)^{3/2} = R^3(1 + \tan^2\theta)^{3/2} = \frac{R^3}{\cos^3\theta}$
- 積分区間は、端の角度を $\theta_0$ とすると、$-\theta_0$ から $+\theta_0$ になります。
代入して整理します。
$$B = \frac{\mu_0 I R}{4\pi} \int_{-\theta_0}^{\theta_0} \frac{\cos^3\theta}{R^3} \frac{R}{\cos^2\theta} d\theta$$
$$B = \frac{\mu_0 I}{4\pi R} \int_{-\theta_0}^{\theta_0} \cos\theta \, d\theta$$
$$B = \frac{\mu_0 I}{4\pi R} \left[ \sin\theta \right]_{-\theta_0}^{\theta_0} = \frac{\mu_0 I}{4\pi R} (2 \sin\theta_0)$$
図の幾何学的関係から、$\sin\theta_0 = \frac{L}{\sqrt{R^2 + L^2}}$ であるため、有限長の直線電流が作る磁場の大きさは以下のようになります。
$$B = \frac{\mu_0 I}{2\pi R} \frac{L}{\sqrt{R^2 + L^2}}$$
無限長直線電流への拡張
最後に、導線が無限に長い場合（$L \to \infty$）を考えてみましょう。
先ほど求めた式において、極限をとります。
$$B = \lim_{L \to \infty} \frac{\mu_0 I}{2\pi R} \frac{1}{\sqrt{\left(\frac{R}{L}\right)^2 + 1}} = \frac{\mu_0 I}{2\pi R}$$
見たことある式になりましたね(*^^*)
このようにしてビオサバールの法則から磁場を求めることが出来ました。
まとめ
いかがだったでしょうか
ビオサバールの法則は自分で手を動かして計算すれば慣れてくると思います。
次回はビオサバールの法則を使って円形電流の問題を解いていきたいと思います!(^^)!
ではまた(^^)/~~~
