平面上の点を指定する際、一般的には直交座標系 $(x, y)$ が用いられます。
しかし、円対称性を持つ領域での積分や、中心からの距離と角度に依存する関数を扱う場合、直交座標系では計算が複雑になることがあります。
このような系では、2次元極座標系を導入することで、数式の表現や計算を大幅に簡略化することが可能です。
本記事は、極座標系におけるベクトル解析（勾配、発散、回転）を学ぶための準備として、最も基礎となる基底ベクトルと面積要素の導出を数学的に行います。
それではやっていきましょう!(^^)!
2次元極座標の定義と座標変換
2次元平面上の任意の点 $P$ の位置を、原点からの距離 $r$ と、x軸の正の向きから反時計回りに測った角度 $\theta$ の組 $(r, \theta)$ で表したものを2次元極座標と定義します。
直交座標 $(x, y)$ と極座標 $(r, \theta)$ の間には、以下の座標変換式が成り立ちます。
$$x = r \cos\theta$$
$$y = r \sin\theta$$
逆変換は以下の通り定義されます。
$$r = \sqrt{x^2 + y^2}$$
$$\theta = \arctan\left(\frac{y}{x}\right)$$
変数の取り得る範囲（変域）は、それぞれ以下のようになります。
$$r \ge 0$$
$$0 \le \theta < 2\pi$$
位置ベクトルと自然基底
直交座標系の単位基底ベクトルを $\vec{e}_x, \vec{e}_y$ とします。
平面上の位置ベクトル $\vec{r}$ は、直交座標を用いて $\vec{r} = x\vec{e}_x + y\vec{e}_y$ と表されます。
ここに極座標の変換式を代入すると、極座標変数を用いた位置ベクトルの表現が得られます。
$$\vec{r} = r\cos\theta\vec{e}_x + r\sin\theta\vec{e}_y$$
極座標系における各座標軸方向の基底ベクトルは、この位置ベクトル $\vec{r}$ をそれぞれの変数 $r, \theta$ で偏微分することによって導出されます。
まず、$r$ で偏微分します。
$$\frac{\partial \vec{r}}{\partial r} = \cos\theta\vec{e}_x + \sin\theta\vec{e}_y$$
次に、$\theta$ で偏微分します。
$$\frac{\partial \vec{r}}{\partial \theta} = -r\sin\theta\vec{e}_x + r\cos\theta\vec{e}_y$$
正規直交基底ベクトルの定義
前項で求めた自然基底ベクトルは、方向を示していますが、大きさが $1$ とは限りません。
これらを正規化（大きさを $1$ にする）して、極座標系における単位基底ベクトル $\vec{e}_r, \vec{e}_\theta$ を定義します。
それぞれのベクトルの大きさを計算します。
$$\left\vert{} \frac{\partial \vec{r}}{\partial r} \right\vert{} = \sqrt{\cos^2\theta + \sin^2\theta} = \sqrt{1} = 1$$
$$\left\vert{} \frac{\partial \vec{r}}{\partial \theta} \right\vert{} = \sqrt{(-r\sin\theta)^2 + (r\cos\theta)^2} = \sqrt{r^2(\sin^2\theta + \cos^2\theta)} = r$$
$r$ 方向のベクトルはすでに大きさが $1$ ですが、$\theta$ 方向のベクトルの大きさは $r$ となっています。
したがって、それぞれを自身の大きさで割ることで単位基底ベクトルを定義します。
$$\vec{e}_r = \frac{\partial \vec{r}}{\partial r} = \cos\theta\vec{e}_x + \sin\theta\vec{e}_y$$
$$\vec{e}_\theta = \frac{1}{r} \frac{\partial \vec{r}}{\partial \theta} = -\sin\theta\vec{e}_x + \cos\theta\vec{e}_y$$
これら2つの単位ベクトルが直交していることを確認するため、内積を計算します。
$$\vec{e}_r \cdot \vec{e}_\theta = (\cos\theta)(-\sin\theta) + (\sin\theta)(\cos\theta) = -\sin\theta\cos\theta + \sin\theta\cos\theta = 0$$
内積が $0$ となるため、$\vec{e}_r$ と $\vec{e}_\theta$ は直交しています。
これにより、$\{\vec{e}_r, \vec{e}_\theta\}$ は2次元極座標系における正規直交基底であることが数学的に示されました。
微小面積要素の導出
重積分において、積分変数を直交座標 $(x, y)$ から極座標 $(r, \theta)$ へ変換する際の微小面積要素の変換倍率を求めます。
これにはヤコビ行列式（ヤコビアン $J$）を用います。
ヤコビアンについて学びたい方はこちらの記事をご参照ください↓↓↓
ヤコビアンは以下のように定義されます。
$$J = \frac{\partial(x, y)}{\partial(r, \theta)} = \det \begin{pmatrix} \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \theta} \\ \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \theta} \end{pmatrix}$$
変換式 $x = r \cos\theta, y = r \sin\theta$ を各変数で偏微分し、行列の各成分を計算します。
$$\frac{\partial x}{\partial r} = \cos\theta, \quad \frac{\partial x}{\partial \theta} = -r\sin\theta$$
$$\frac{\partial y}{\partial r} = \sin\theta, \quad \frac{\partial y}{\partial \theta} = r\cos\theta$$
これらをヤコビアンの定義式に代入し、行列式を計算します。
$$J = \det \begin{pmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta \\ \sin\theta & r\cos\theta \end{pmatrix}$$
$$J = (\cos\theta)(r\cos\theta) – (-r\sin\theta)(\sin\theta)$$
$$J = r\cos^2\theta + r\sin^2\theta$$
$$J = r(\cos^2\theta + \sin^2\theta) = r$$
極座標の変域より $r \ge 0$ であるため、ヤコビアンの絶対値 $\vert{}J\vert{}$ は $r$ となります。
したがって、直交座標系の微小面積要素 $dxdy$ は、極座標系において以下のように変換されることが導出されました。
$$dxdy = \vert{}J\vert{} dr d\theta = r dr d\theta$$
