こんにちは！
本日は変数分離完全マスターということで、微分方程式における変数分離を用いた一般解の求め方を理解しましょう(p^o^)p
変数分離についてはこちらでも説明しているので内容が被る部分がございます。ご了承ください。↓↓↓
それではやっていきましょう！
変数分離の解き方の手順
まずは解き方の手順について説明します。
ある微分方程式があったときに、その式が
$$ \frac{dy}{dx}=X(x)Y(y) $$
と表せられるとき、これを変数分離形といいます。
このような式があったとき、
$$ \frac{1}{Y(y)} \frac{dy}{dx} = X(x) $$
と変形し、両辺を \( x \) で積分します。
$$ \int \frac{1}{Y(y)} \frac{dy}{dx} dx = \int X(x) dx $$
これより、
$$ \int \frac{1}{Y(y)} dy = \int X(x) dx $$
という、左辺が \( y \) の積分、右辺が \( x \) の積分の式が出来上がりましたね。
あとは両辺をそれぞれ計算することで一般解を求めることが出来ます。
このような手順を追うことで問題を解くことが出来ます。
では実際にやってみましょう！
練習問題
以下の微分方程式
$$ \frac{dy}{dx} = xy $$
の一般解を求めよ
[解法]
まず、\(y \neq 0\) として両辺を \(y\) で割ります。
$$ \frac{1}{y}\frac{dy}{dx} = x $$
両辺を \( x \) で積分すると、
$$ \int \frac{1}{y}\frac{dy}{dx} dx = \int x dx $$
ここから左辺は \( y \) の積分に直すことが出来ます。
$$ \int \frac{1}{y} dy = \int x dx $$
両辺をそれぞれ積分計算すると
\( \log |y| = \frac {1}{2}x^2 + c \)
ここで（\( c \) は積分定数)。これより、
\( y = Ce^{\frac{1}{2}x^2} \)
となります( \( C \) は任意定数)。
一般解が求まりましたね！(^▽^)
同次形の解き方の手順
次は同次形の微分方程式の解き方についてです。
同次形とは、ある一階の常微分方程式を
$$ y'(x) = f(\frac{y}{x}) \cdots (1) $$
と、右辺が \( \frac{y}{x} \) のみの関数で表されるものをいいます。
このような問題まず
$$ u = \frac{y}{x} $$
と、おきます。
\( y = ux \) となるので、これを \( x \) で微分すると
$$ y'(x) = u'(x)x + u(x) \cdots (2) $$
となります。
(1)式と(2)式を合わせると、
$$ f(u) = u’x+u $$
となり、この式を変形すると、
$$ \frac{du}{dx} = \frac{f(u)-u}{x} $$
となるので変数分離の形から先ほどと同じように解けばOKです！
ではこれも練習問題をやってみましょう。
練習問題
以下の微分方程式
$$ \frac{dy}{dx}=1+\frac{y}{x} $$
の一般解を求めよ
[解法]
まずは
$$ u=\frac{y}{x} $$
とおいて、微分方程式に代入します。
$$ \frac{dy}{dx}=1+u \cdots (1) $$
次に、 \( y = ux \) であることからこれを \( x \) で微分すると
$$ \frac{dy}{dx} = x\frac{du}{dx} + u \cdots (2) $$
となります。
(1)式と(2)式から、
$$ 1+u = x\frac{du}{dx} +u $$
となり、式を変形すると
$$ \frac{du}{dx} = \frac{1}{x} $$
となります。
ここからは先ほど説明したように変数分離の解き方の手順に従って解けば大丈夫です。
両辺を \( x \) で積分すると
$$ \int du = \int \frac{1}{x} dx $$
となるので、両辺をそれぞれ計算すると
$$ u = \log |x| + C $$
となります。\( C \) は積分定数です。
\( y = ux \) であることから求めるべき一般解は
$$ y(x) = x(\log |x| + C) $$
となります。
まとめ
いかがだったでしょうか(^▽^)/
流れをまとめると
こちらの２点を必ずおさえておいてください！
ではまた(^.^)/~~~
