こんにちは！
今回はオイラーの公式をマクローリン展開を使って導出してみたいと思います。
オイラーの公式は
$$ e^{iz} = \cos z + i\sin z $$
と表せられる式です。
この式を導出していきましょう！
基礎知識
まずはマクローリン展開のおさらいです。
マクローリン展開とは、関数を \( x=0 \) まわりで無限級数に展開したものです。
詳しいやり方は下の記事をご覧ください↓↓↓
今回は指数関数 \( e^x \) 、三角関数 \( \sin x \) 、 \( \cos x \) をそれぞれマクローリン展開したいと思います。
(1) 指数関数 \( e^x \)
$$ e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots $$
(2) 三角関数 \( \sin x \)
$$ \sin x = x – \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} – \frac{x^7}{7!} + \cdots $$
(3) 三角関数 \( \cos x \)
$$ \cos x = 1 – \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} – \frac{x^6}{6!} + \cdots $$
では証明に移りましょう！
オイラーの公式の証明
まず、指数関数 \( e^{iz} \) をマクローリン展開します。
$$ e^{iz} = 1 + iz + \frac{1}{2!} (iz)^2 + \frac{1}{3!} (iz)^3 + \frac{1}{4!} (iz)^4 + \frac{1}{5!} (iz)^5 + \cdots $$
この式の虚数の部分らをできるだけ計算すると、
$$ = 1 + iz \ – \frac{1}{2!} z^2 – i \frac{1}{3!} z^3 + \frac{1}{4!} z^4 + i \frac{1}{5!} z^5 + \cdots $$
これを実数の項と虚数の項それぞれでまとめます。
$$ = 1\ – \frac{1}{2!} z^2 + \frac{1}{4!} z^4 + \cdots + i ( z \ – \frac{1}{3!} z^3 + \frac{1}{5!} z^5 + \cdots ) $$
ここで、この実数部分は \( \cos z \) のマクローリン展開、虚数部分は \( \sin z \) のマクローリン展開をしたものであることに気づけます。
つまり、近似的に
$$ = \cos z + i \sin z $$
となります！
これでオイラーの公式
$$ e^{iz} = \cos z + i \sin z $$
が求められました!(^^)!
まとめ
いかがだったでしょうか
オイラーの公式 \( e^{iz} = \cos z + i \sin z \) はマクローリン展開を使って簡単に導けることに気づけました！
すごく便利な式でいろいろな場面に使うのでこれで少しでもオイラーの公式に親近感を持ってくれたらうれしいです(*^^*)
ではまた(^^)/~~~
