無限級数における絶対収束の判定法②ダランベールの判定法とその証明

$$ \displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{|a_{n+1}|}{|a_{n}|} = r $$

とおきます。

(1) \( r \lt 1 \) のとき

十分大きな \( N \) をとると、任意の \( n \gt N \) において

$$ \frac{|a_{n}|}{|a_{n-1}|} \lt q \lt 1 $$

となる \( q \) が存在します。

この式の \( \frac{|a_{n}|}{|a_{n-1}|} \lt q \) の部分に注目して少し変形してみましょう。

$$ |a_{n}| \lt q|a_{n-1}| \lt q^2|a_{n-2}| \lt \cdots \lt q^{n-N}|a_{N}| $$

となることがわかります。

これより、

$$ \begin{eqnarray}
\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} |a_{n}| &=& \displaystyle \sum_{n=1}^{N} |a_{n}| +\displaystyle \sum_{n=N+1}^{\infty} |a_{n}| \\[7pt]
& \lt & \displaystyle \sum_{n=1}^{N} |a_{n}| +\displaystyle \sum_{n=N+1}^{\infty} q^{n-N}|a_{N}| \\[7pt]
&=& \displaystyle \sum_{n=1}^{N} |a_{n}| +|a_{N}|\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} q^n \\[7pt]
\end{eqnarray} $$

この式の右辺第１項は \( N \) 番目までの和と有限の値を取るため収束し、右辺第２項については \( q \lt 1 \) であったことから収束することがわかります。

これより \( \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} |a_{n}| \) は収束です。

(2) \( r \gt 1 \) のとき

十分おおきな \( N \) をとると、任意の \( n \gt N \) において

$$ \frac{|a_{n}|}{|a_{n-1}|} \gt q \gt 1 $$

となる \( q \) が存在します。

この式の \( \frac{|a_{n}|}{|a_{n-1}|} \gt q \) の部分に注目して少し変形してみましょう。

$$ |a_{n}| \gt q|a_{n-1}| \gt q^2|a_{n-2}| \gt \cdots \gt q^{n-N}|a_{N}| $$

となることがわかります。

これより、

$$ \begin{eqnarray}
\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} |a_{n}| &=& \displaystyle \sum_{n=1}^{N} |a_{n}| +\displaystyle \sum_{n=N+1}^{\infty} |a_{n}| \\[7pt]
& \gt & \displaystyle \sum_{n=1}^{N} |a_{n}| +\displaystyle \sum_{n=N+1}^{\infty} q^{n-N}|a_{N}| \\[7pt]
&=& \displaystyle \sum_{n=1}^{N} |a_{n}| +|a_{N}|\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} q^n \\[7pt]
\end{eqnarray} $$

この式の右辺第２項は \( q \gt 1 \) であったことから発散することがわかります。

これより \( \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} |a_{n}| \) は発散です。