こんにちは=^_^=
今回は線形1階常微分方程式の解き方について扱っていきます。
斉次の場合、非斉次の場合それぞれでの解き方をマスターしましょう(^▽^)
今回のポイントはこちらです。
・変数分離とは何か理解しよう
・定数変化法が使えるようになろう
それではやっていきましょう。
斉次、非斉次の違いってなに？
まずは斉次と非斉次の微分方程式の違いを簡単に説明します。ここに一階の常微分方程式
$$ y'(x)+p(x)y(x)=r(x) $$
があります。
\( r(x)=0 \) のとき、これは斉次であり、\( r(x) \neq 0 \) のとき非斉次です。
\( y'(x)+p(x)y(x)=0 \)
\( \Longrightarrow \) 斉次微分方程式
\( y'(x)+p(x)y(x)=r(x) \)
\( \Longrightarrow \) 非斉次微分方程式
それでは次からは具体的な解き方について扱っていきます。
斉次の場合の一般解の求め方[変数分離]
まずは斉次の場合からです。
例題に進んでいきましょう。
例題１
以下の微分方程式
$$ \frac{dy}{dx} = xy $$
の一般解を求めよ
[解法]
まず、\(y \neq 0\) として両辺を \(y\) で割ります。
$$ \frac{1}{y}\frac{dy}{dx} = x $$
両辺を \( x \) で積分すると、
$$ \int \frac{1}{y}\frac{dy}{dx} dx = \int x dx $$
ここから左辺は \( y \) の積分に直すことが出来ます。
$$ \int \frac{1}{y} dy = \int x dx $$
両辺をそれぞれ積分計算すると
\( \log |y| = \frac {1}{2}x^2 + c \)
ここで（\( c \) は積分定数)。これより、
\( y = Ce^{\frac{1}{2}x^2} \)
となります( \( C \) は任意定数)。一般解が求まりましたね！(^▽^)
ちなみに今回のように
\( \frac{dy}{dx} = X(x)Y(y) \)
と書けるものを変数分離形といいます。\( X(x) \) は\( x \) のみの関数、\( Y(y) \) は\( y \) のみの関数であることに注意してください。
変数分離形\( \frac{dy}{dx} = X(x)Y(y) \) は
1. \( \frac{1}{Y(y)} \frac{dy}{dx} = X(x) \) と変形
2. 両辺を \( x \) で積分
では演習問題に入りましょう。
演習問題1
以下の微分方程式
$$ \frac{dy}{dx} = \frac{y-3}{2x+1} $$
の一般解を求めよ
[解法]
まず \( y \neq 3 \) と仮定して、両辺を \( y-3 \) で割ります。
$$ \frac {1}{y-3} \frac{dy}{dx} = 2x+1 $$
両辺を \( x \) で積分すると、
$$ \int \frac{1}{y-3} \frac{dy}{dx} dx = \int \frac{1}{2x+1} dx $$
これより、
$$ \int \frac{1}{y-3} dy = \int \frac{1}{2x+1} dx $$
両辺計算すると、
\( \log |y-3| = \frac{1}{2} \log |2x+1| + c \)
よって、
\( y = C \sqrt{2x+1} +3 \)
演習問題2
以下の微分方程式
$$ \frac{dy}{dx} = 1-y^2 $$
の一般解を求めよ
[解法]
\( 1-y^2 = (1+y)(1-y) \) ですね。このことを踏まえて式を変形します。
$$ \frac{1}{(1+y)(1-y)} \frac{dy}{dx} = 1 $$
両辺を \( x \) で積分すると、
$$ \int \frac{1}{(1+y)(1-y)} dy = \int dx $$
$$ \Leftrightarrow \frac{1}{2} \int \frac{1}{1-y} + \frac{1}{1+y} dy = \int dx $$
両辺を計算すると、
$$ \log | \frac{1+y}{1-y} | = 2x+c $$
$$ \Leftrightarrow \frac{1+y}{1-y} = Ce^{2x} $$
$$ \Leftrightarrow (1+Ce^{2x}) y = Ce^{2x} – 1 $$
よって
$$ y = \frac{Ce^{2x}-1}{Ce^{2x}+1} $$
非斉次の場合の一般解の求め方[定数変化法]
次は非斉次の場合についてです。まずは例題です。
例題1
以下の微分方程式
$$ \frac{dy}{dx} = y+e^x $$
の一般解を求めよ
[解法]
定数分離したいところですが \( e^x \) の部分が邪魔ですね。
いったん \( e^x = 0 \) としてしまい、斉次の場合と同じようにして問題を解いてみましょう。
$$ \frac{dy}{dx} = y $$
両辺を \( y \) で割ると
$$ \frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = 1 $$
\( x \) で両辺を積分すると
$$ \int \frac{1}{y} \frac{dy}{dx} dx = \int dx $$
これより
$$ \int \frac{1}{y} dy = \int dx $$
両辺計算すると
\( \log |y| = x+c \) I
よって、
\( y = Ce^x \)
ここまでは大丈夫そうですね(^^
ここからがポイントです。
任意定数 \( C \) を \( x \) の関数であるとします。つまり、
\( y=C(x)e^x \)
だと仮定するのです。
ちなみにこれを定数変化法といいます。
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
y = C(x)e^x \\
\frac{dy}{dx}=C'(x)e^x+C(x)e^x
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
なので、これを問題1の微分方程式に代入してみると
$$ C'(x)e^x+C(x)e^x = C(x)e^x +e^x $$
となり、\( C(x)e^x \) が消えて
$$ C'(x)e^x = e^x $$
$$ C'(x) = 1 $$
よって、
\( C(x) = x + C_{1} \) (\( C_{1} \) は積分定数 )
\( C(x) \) の値が求まりましたね。これにより一般解は
$$ y=(x+C_{1})e^x $$
となります。(^▽^)/
解き方の流れをざっとまとめます。
[定数変化法]
非斉次の微分方程式
$$ y'(x)+p(x)y(x) = r(x) $$
があるとき、
1. \( r(x)=0 \) と仮定して一般解を求める
2. 出てきた解 \( Cy(x) \) の任意定数 \( C \) を \(x \) の関数とみる
3. 非斉次の微分方程式に代入し \( C(x) \) を求める
ではこちらも演習問題をやっていきましょう。
演習問題1
以下の微分方程式
$$ \frac{dy}{dx} + y = x^2 + 2x $$
の一般解を求めよ
[解法]
まずは \( x^2+2x = 0 \) の場合ついて考えます。
$$ \frac{dy}{dx} + y = 0 $$
変形して
$$ \frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = -1 $$
両辺を \( x \) で積分して
$$ \int \frac{1}{y} dy = – \int dx $$
両辺を計算すると、
$$ \log |y| = -x+c $$
よって
$$ y = Ce^{-x} $$
\( C \) を \( x \) の関数 \( C(x) \) とみると、
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
y = C(x)e^{-x} \\
\frac{dy}{dx}=C'(x)e^{-x}-C(x)e^{-x}
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
これを演習問題1の微分方程式に代入して計算すると、
$$ C'(x) = e^x(x^2+2x) $$
部分積分を使ってこれを計算すると
$$ C(x) = x^2e^x+C_{1} $$
よって、
$$ y = x^2+C_{1}e^{-1} $$
演習問題2
以下の微分方程式
$$ \frac{dy}{dx} + y \tan x = \cos^2 x $$
の一般解を求めよ
[解法]
まず \( \cos^2 x = 0 \) のとき、
$$ \frac{dy}{dx} + y \tan x = 0 $$
変形して
$$ \frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = – \tan x $$
両辺を \( x \) で積分すると
$$ \int \frac{1}{y} dy = -\int \tan x dx $$
両辺計算すると、
$$ \log |y| = \log |\cos x| + c $$
よって
$$ y = C \cos x $$
\( C \) を \( x \) の関数 \( C(x) \) とみると、
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
y = C(x)\cos x \\
\frac{dy}{dx}=C'(x)\cos x-C(x)\sin x
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
これを演習問題2の微分方程式に代入して計算すると、
$$ C'(x) = \cos x $$
\( x \) で積分すると
$$ C(x) = \sin x + C_{1} $$
よって
$$ y = \sin x \cos x + C_{1}\cos x $$
まとめ
いかがだったでしょうか^_^
簡単に今回の内容をまとめると、
線形1階常微分方程式において
斉次の場合 \( \longrightarrow \) 変数分離
非斉次の場合 \( \longrightarrow \) 定数変化法
大切なので必ずできるようになりましょう
ではまた(^^)/~~~
次回の記事はこちら↓↓↓
