こんにちは!(^^)!
今日は無限級数の絶対収束の判定方法の1つであるコーシーの判定法についてやっていきたいと思います！
絶対収束ってなに？という方はまずこちらをご覧ください↓↓↓
それではやっていきましょう！
コーシーの判定法
無限級数 \( \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \) があったとき、その正項級数 \( \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} |a_{n}| \) の収束性は
$$ \displaystyle \lim_{n \to \infty} (|a_{n}|)^{1/n} = r $$
に対して
① \( r \lt 1 \) なら収束
② \( r \gt 1 \) なら発散
③ \( r=1 \) の場合は収束も発散もあり得る
となります。
コーシーの判定法の証明
ではこのコーシーの収束判定法を証明してみます。
$$ \displaystyle \lim_{n \to \infty} (|a_{n}|)^{1/n} = r $$
とおきます。
(1) \( r \lt 1 \) のとき
十分大きな \( n \) において
$$ (|a_{n}|)^{\frac{1}{n}} \lt q \lt 1 $$
となる \( q \) が存在します。
この式を少し整理して
$$ |a_{n}| \lt q^n \lt 1 $$
となります。
ここでこの \( q^n \lt 1 \) 部分に注目してみると \( n \rightarrow \infty \) すると収束するため、それより小さい \( |a_{n}| \) も収束します。
(2) \( r \gt 1 \) のとき
十分おおきな \( n \) において
$$ (|a_{n}|)^{1/n} \gt q \gt 1 $$
となる \(q \) が存在します。
これを少し整理すると
$$ |a_{n}| \gt q^n \gt 1 $$
となります。
ここで \( q^n \gt 1 \) の部分に注目してみると \( n \rightarrow \infty \) すると発散するため、それより大きい \( |a_{n}| \) も発散します。
これにて証明ができました！
コーシーの判定法の具体例
ではコーシーの判定法をもちいていくつか問題を解いてみたいと思います。
①絶対収束の例
無限級数
$$ \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{3^n} = \frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\cdots $$
が絶対収束するかどうか確かめよ
[解き方]
コーシーの判定法を用いて
$$ \begin{eqnarray}
& & \displaystyle \lim_{n \to \infty} (|a_{n}|)^{1/n} \\[7pt]
&=& \displaystyle \lim_{n \to \infty} \left(\frac{1}{3^n}\right)^{1/n} \\[7pt]
&=& \frac{1}{3}
\end{eqnarray} $$
\( \frac{1}{3} \) は１より小さいのでこの級数は絶対収束します。
②発散の例
無限級数
$$ \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{n}{2} \right) = \frac{1}{2}+1+\left(\frac{3}{2}\right)^3+\cdots $$
が絶対収束するかどうか確かめよ
[解き方]
コーシーの判定法を用いて
$$ \begin{eqnarray}
& & \displaystyle \lim_{n \to \infty} (|a_{n}|)^{1/n} \\[7pt]
&=& \displaystyle \lim_{n \to \infty} \left\{ \left(\frac{n}{2}\right)^{n}\right\}^{1/n} \\[7pt]
&=& \displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{n}{2} \\[7pt]
&=& \infty \\[7pt]
\end{eqnarray} $$
よってこれは発散しているため、この級数も発散します。
まとめ
いかがだったでしょうか!(^^)!
コーシーの収束判定法のほかにもダランベールの判定法やコーシーの積分判定法があるため、次回はそれを扱っていきます！
ではまた(^^)/~~~
