こんにちは！
今日はポアソンの法則を導出してみようと思います！
前提として今回は理想気体における断熱変化の過程を考えながら進めていきます。
ではやっていきましょう！
ポアソンの法則の導出
まずは熱力学第1法則より
$$ dE = \delta Q – pdV $$
を考えます。
今回は断熱変化の過程を考えているため熱の出入りはありません。
そのため
$$ \delta Q = 0 $$
です。これより熱力学第1法則は
$$ dE = -pdV \quad \cdots(1) $$
となります。
次にルニョーの法則
$$ dE = C_{V}dT $$
を(1)式に代入します。
$$ C_{V}dT + pdV =0 \quad \cdots(2) $$
ちなみにルニョーの法則の導出方法と意味についてはこちらの記事に書いてあります↓↓↓
理想気体の状態方程式より、
$$ p=\frac{nRT}{V} $$
これを(2)式に代入して
$$ C_{V}dT + \frac{nRT}{V}dV = 0 \quad \cdots(3) $$
また、マイヤーの関係式
$$ C_{p} – C_{V} = nR $$
を(3)式に代入すると
$$ C_{V}dT + (C_{p}-C_{V})T \frac{dV}{V} = 0 $$
両辺を \( C_{V}T \)で割ると、
$$ \frac{dT}{T} + \left ( \frac{C_{p}}{C_{V}} – 1 \right ) \frac{dV}{V} = 0 $$
ここで、 \( \gamma = \frac{C_{p}}{C_{V}} \) とおくと
$$ \frac{dT}{T} + ( \gamma – 1 ) \frac{dV}{V} = 0 $$
これを両辺積分すると、
$$ \log T + (\gamma – 1) \log V = c $$
ここで \( c \) は積分定数です。
この式を変形して、定数であるものをまとめて \( k \) と置くと
$$ TV^{\gamma – 1} = k $$
理想気体の状態方程式を用いて式を書き換えると
$$ \frac{pV}{nR} V^{ \gamma – 1} = k $$
整理して
$$ pV^{ \gamma} = k’ $$
となります。ここで、\( k’ = nRk \) と置きました。
これでポアソンの法則が完成しました！
これは断熱変化の時の気体の圧力と体積の関係を表しています。
まとめ
いかがでしたか？
何度も言いますが、ポアソンの法則は断熱変化の時のものであることに注意しましょう！
ではまた(o^―^o)
