こんにちは！
今回はリッカチ型の微分方程式について扱っていきます(^▽^)
ではさっそくやっていきましょう！
リッカチ型の微分方程式ってどんなもの？
まず、リッカチ型の微分方程式とは以下のようなかたちの微分方程式のことをいいます。
$$ y'(x)+p(x)y(x)+q(x)\{ y(x) \}^2+r(x) = 0 $$
そしてこの時の一般解\( y(x) \) を求めるために必要な条件というものがあります。
それは
特解が必ずひとつ得られていなければならない
ということです！！！
なのでリッカチ型の微分方程式をみつけたらまずは特解を自力で探して見つけなければなりません。
めんどくさいですね(^▽^;)
それでは具体的な解法手順についてやっていきましょう！
具体的な解き方
ではここにリッカチ型微分方程式
$$ \frac{dy(x)}{dx} + p(x)y(x) + q(x)\{ y(x) \}^2 + r(x) = 0 $$
があり、
特解 \( y_{1}(x) \) がひとつ得られている
とします。
まずはじめに
\( u(x) = y(x) – y_{1}(x) \)
とおきます。
これが非常に重要です！！！！！！
すこし変形して
$$ y(x) = u(x) + y_{1}(x) $$
とします。
この式を両辺 \( x \) で微分すると
$$ \frac{dy(x)}{dx} = \frac{du(x)}{dx} + \frac{dy_{1}(x)}{dx} $$
となります。
微分前と微分後のふたつの式をリッカチ型微分方程式に代入すると
$$ \frac{du(x)}{dx} + \frac{dy_{1}(x)}{dx} + p(x)\{ u(x) + y_{1}(x) \} + q(x)\{ u(x) + y_{1}(x) \}^2 + r(x) = 0 $$
整理すると、
$$ \frac{y_{1}(x)}{dx} + p(x)y_{1}(x) + q(x)\{ y_{1}(x) \}^2 + r(x) + \frac{du(x)}{dx} + \{ p(x) + 2q(x)y_{1}(x) \}u(x) + q(x)\{ u(x) \}^2 = 0 $$
となります。
ここで \( y_{1} \) は特解なので
$$ \frac{y_{1}(x)}{dx} + p(x)y_{1}(x) + q(x)\{ y_{1}(x) \}^2 + r(x) = 0 $$
になります。この部分が \( 0 \) になることにより
$$ \frac{du(x)}{dx} + \{ p(x) + 2q(x)y_{1}(x) \}u(x) + q(x)\{ u(x) \}^2 = 0 $$
この式はベルヌーイ型の微分方程式ですね。
あとはベルヌーイ型の微分方程式の解き方に従って解けばOKです。
ベルヌーイ型の微分方程式についてはこちらにおいておきます↓↓↓
まとめ
いかがだったでしょうか！
本日のまとめです。
リッカチ型微分方程式
$$ y'(x)+p(x)y(x)+q(x)\{ y(x) \}^2+r(x) = 0 $$
があり、特解 \(y_{1} \) がひとつ得られているのならば
$$ u=y-y_{1} $$
とおき、ベルヌーイ型の微分方程式に変換する。
このながれを必ず掴んでおきましょう！
ではまた！
